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Theorem reclem3pr 9750
 Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem3pr (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 9683 . . . 4 1P = {𝑤𝑤 <Q 1Q}
21abeq2i 2722 . . 3 (𝑤 ∈ 1P𝑤 <Q 1Q)
3 ltrnq 9680 . . . . . . 7 (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤))
4 mulcomnq 9654 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5 1nq 9629 . . . . . . . . . 10 1QQ
6 recclnq 9667 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7 mulidnq 9664 . . . . . . . . . 10 ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9 recidnq 9666 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
114, 8, 103eqtr3i 2640 . . . . . . . 8 (*Q‘1Q) = 1Q
1211breq1i 4590 . . . . . . 7 ((*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
133, 12bitri 263 . . . . . 6 (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
14 prlem936 9748 . . . . . 6 ((𝐴P ∧ 1Q <Q (*Q𝑤)) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
1513, 14sylan2b 491 . . . . 5 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
16 prnmax 9696 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑣𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
1716ad2ant2r 779 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18 elprnq 9692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑣𝐴) → 𝑣Q)
1918ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣Q)
20193adant3 1074 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣Q)
21 simp1r 1079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22 ltrelnq 9627 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
2322brel 5090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 <Q 1Q → (𝑤Q ∧ 1QQ))
2423simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 <Q 1Q𝑤Q)
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤Q)
26 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27 simp2r 1081 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
28 ltrnq 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q𝑧) <Q (*Q𝑣))
29 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑧) ∈ V
30 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑣) ∈ V
31 ltmnq 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ V
33 mulcomnq 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → ((*Q𝑧) <Q (*Q𝑣) ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3528, 34syl5bb 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3736biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
38 mulcomnq 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = ((*Q𝑣) ·Q 𝑣)
39 recidnq 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣Q → (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = 1Q)
4038, 39syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → ((*Q𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41 recidnq 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤Q → (𝑤 ·Q (*Q𝑤)) = 1Q)
4240, 41oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑣 ∈ V
44 mulassnq 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (*Q𝑤) ∈ V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
47 mulidnq 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1QQ → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q)
50 recclnq 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (*Q𝑣) ∈ Q)
51 mulclnq 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((*Q𝑣) ∈ Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
5250, 51sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53 recmulnq 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5549, 54mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣Q𝑤Q) → (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
5655eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5756notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5857biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
5937, 58anim12d 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
62 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q𝑦) = (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
6362eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6561, 64anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
6660, 65spcev 3273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
67 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
6968anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
7069exbidv 1837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
7267, 70, 71elab2 3323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
7366, 72sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7459, 73syl6 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
7574imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣Q𝑤Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1319 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7722brel 5090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣Q𝑧Q))
7877simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 <Q 𝑧𝑧Q)
79783ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧Q)
80 mulcomnq 9654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
81 mulidnq 9664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
8280, 81syl5reqr 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤Q𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83 mulassnq 9660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))
84 recidnq 9666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑧 ·Q (*Q𝑧)) = 1Q)
8584oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
8683, 85syl5reqr 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8782, 86sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧Q𝑤Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8879, 25, 87syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
89 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
9089eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) ↔ 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))))
9190rspcev 3282 . . . . . . . . . 10 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
9276, 88, 91syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
93923expia 1259 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9493reximdv 2999 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9571reclem2pr 9749 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐵P)
96 df-mp 9685 . . . . . . . . . 10 ·P = (𝑦P, 𝑤P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓𝑦𝑔𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
97 mulclnq 9648 . . . . . . . . . 10 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
9896, 97genpelv 9701 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝐵P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9995, 98mpdan 699 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10099ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10194, 100sylibrd 248 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
10217, 101mpd 15 . . . . 5 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
10315, 102rexlimddv 3017 . . . 4 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
104103ex 449 . . 3 (𝐴P → (𝑤 <Q 1Q𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
1052, 104syl5bi 231 . 2 (𝐴P → (𝑤 ∈ 1P𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
106105ssrdv 3574 1 (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Qcnq 9553  1Qc1q 9554   ·Q cmq 9557  *Qcrq 9558
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