MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recclnq 9643
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recclnq (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq
StepHypRef Expression
1 recidnq 9642 . . . 4 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2 1nq 9605 . . . 4 1QQ
31, 2syl6eqel 2694 . . 3 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
4 mulnqf 9626 . . . . 5 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 5950 . . . 4 dom ·Q = (Q × Q)
6 0nnq 9601 . . . 4 ¬ ∅ ∈ Q
75, 6ndmovrcl 6694 . . 3 ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
83, 7syl 17 . 2 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
98simprd 477 1 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  Qcnq 9529  1Qc1q 9530   ·Q cmq 9533  *Qcrq 9534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2588  ax-sep 4702  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6823
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2460  df-mo 2461  df-clab 2595  df-cleq 2601  df-clel 2604  df-nfc 2738  df-ne 2780  df-ral 2899  df-rex 2900  df-reu 2901  df-rmo 2902  df-rab 2903  df-v 3173  df-sbc 3401  df-csb 3498  df-dif 3541  df-un 3543  df-in 3545  df-ss 3552  df-pss 3554  df-nul 3873  df-if 4035  df-pw 4108  df-sn 4124  df-pr 4126  df-tp 4128  df-op 4130  df-uni 4366  df-iun 4450  df-br 4577  df-opab 4637  df-mpt 4638  df-tr 4674  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6934  df-1st 7035  df-2nd 7036  df-wrecs 7270  df-recs 7331  df-rdg 7369  df-1o 7423  df-oadd 7427  df-omul 7428  df-er 7605  df-ni 9549  df-mi 9551  df-lti 9552  df-mpq 9586  df-enq 9588  df-nq 9589  df-erq 9590  df-mq 9592  df-1nq 9593  df-rq 9594
This theorem is referenced by:  recrecnq  9644  dmrecnq  9645  halfnq  9653  ltrnq  9656  mulclprlem  9696  prlem934  9710  prlem936  9724  reclem2pr  9725  reclem3pr  9726  reclem4pr  9727
  Copyright terms: Public domain W3C validator