MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recclnq Structured version   Unicode version

Theorem recclnq 9236
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recclnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )

Proof of Theorem recclnq
StepHypRef Expression
1 recidnq 9235 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  =  1Q )
2 1nq 9198 . . . 4  |-  1Q  e.  Q.
31, 2syl6eqel 2547 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e. 
Q. )
4 mulnqf 9219 . . . . 5  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5662 . . . 4  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 9194 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 6349 . . 3  |-  ( ( A  .Q  ( *Q
`  A ) )  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e. 
Q. ) )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e. 
Q. ) )
98simprd 463 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    X. cxp 4936   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Q.cnq 9120   1Qc1q 9121    .Q cmq 9124   *Qcrq 9125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-ni 9142  df-mi 9144  df-lti 9145  df-mpq 9179  df-enq 9181  df-nq 9182  df-erq 9183  df-mq 9185  df-1nq 9186  df-rq 9187
This theorem is referenced by:  recrecnq  9237  dmrecnq  9238  halfnq  9246  ltrnq  9249  mulclprlem  9289  prlem934  9303  prlem936  9317  reclem2pr  9318  reclem3pr  9319  reclem4pr  9320
  Copyright terms: Public domain W3C validator