Theorem reclem3pr 9427

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	|- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 9360	. . . 4 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
2	1	abeq2i 2594	. . 3 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
3		ltrnq 9357	. . . . . . 7 |- ( w <Q 1Q <-> ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) )
4		mulcomnq 9331	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
5		1nq 9306	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
6		recclnq 9344	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
7		mulidnq 9341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
9		recidnq 9343	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2504	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q
12	11	breq1i 4454	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
13	3, 12	bitri 249	. . . . . 6 |- ( w <Q 1Q <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
14		prlem936 9425	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
15	13, 14	sylan2b 475	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
16		prnmax 9373	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> E. z e. A v <Q z )
17	16	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> E. z e. A v <Q z )
18		elprnq 9369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> v e. Q. )
19	18	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> v e. Q. )
20	19	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v e. Q. )
21		simp1r 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w <Q 1Q )
22		ltrelnq 9304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
23	22	brel 5048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w <Q 1Q -> ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) )
24	23	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w <Q 1Q -> w e. Q. )
25	21, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w e. Q. )
26		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v <Q z )
27		simp2r 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
28		ltrnq 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v <Q z <-> ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) )
29		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` z ) e. _V
30		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` v ) e. _V
31		ltmnq 9350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. Q. -> ( x <Q y <-> ( u .Q x ) <Q ( u .Q y ) ) )
32		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
33		mulcomnq 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x .Q y ) = ( y .Q x )
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 6471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Q. -> ( ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
35	28, 34	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
37	36	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
38		mulcomnq 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v )
39		recidnq 9343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = 1Q )
40	38, 39	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( ( *Q ` v ) .Q v ) = 1Q )
41		recidnq 9343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
42	40, 41	oveqan12d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
43		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
44		mulassnq 9337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x .Q y ) .Q u ) = ( x .Q ( y .Q u ) )
45		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( *Q ` w ) e. _V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
47		mulidnq 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
50		recclnq 9344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( *Q ` v ) e. Q. )
51		mulclnq 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( *Q ` v ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
52	50, 51	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
53		recmulnq 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
55	49, 54	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
56	55	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
57	56	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
58	57	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A -> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
59	37, 58	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
60		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. _V
61		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
62		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
63	62	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
64	63	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
65	61, 64	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
66	60, 65	spcev 3205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
67		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. _V
68		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( x <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y ) )
69	68	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
70	69	exbidv 1690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
72	67, 70, 71	elab2 3253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
73	66, 72	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
74	59, 73	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B ) )
75	74	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
77	22	brel 5048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v <Q z -> ( v e. Q. /\ z e. Q. ) )
78	77	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v <Q z -> z e. Q. )
79	78	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> z e. Q. )
80		mulcomnq 9331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w )
81		mulidnq 9341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
82	80, 81	syl5reqr 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
83		mulassnq 9337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) )
84		recidnq 9343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
85	84	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
86	83, 85	syl5reqr 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Q. -> ( 1Q .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
87	82, 86	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
88	79, 25, 87	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
89		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
90	89	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
91	90	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
92	76, 88, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
93	92	3expia 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( v <Q z -> E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
94	93	reximdv 2937	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
95	71	reclem2pr 9426	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
96		df-mp 9362	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
97		mulclnq 9325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
98	96, 97	genpelv 9378	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
99	95, 98	mpdan 668	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
100	99	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
101	94, 100	sylibrd 234	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> w e. ( A .P. B ) ) )
102	17, 101	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> w e. ( A .P. B ) )
103	15, 102	rexlimddv 2959	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> w e. ( A .P. B ) )
104	103	ex 434	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w <Q 1Q -> w e. ( A .P. B ) ) )
105	2, 104	syl5bi 217	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. 1P -> w e. ( A .P. B ) ) )
106	105	ssrdv 3510	1 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Q.cnq 9230   1Qc1q 9231   .Q cmq 9234   *Qcrq 9235   <Q cltq 9236   P.cnp 9237   1Pc1p 9238   .P. cmp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ni 9250  df-pli 9251  df-mi 9252  df-lti 9253  df-plpq 9286  df-mpq 9287  df-ltpq 9288  df-enq 9289  df-nq 9290  df-erq 9291  df-plq 9292  df-mq 9293  df-1nq 9294  df-rq 9295  df-ltnq 9296  df-np 9359  df-1p 9360  df-mp 9362

This theorem is referenced by:  reclem4pr  9428