Theorem reclem3pr 9214

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	|- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 9147	. . . 4 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
2	1	abeq2i 2548	. . 3 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
3		ltrnq 9144	. . . . . . 7 |- ( w <Q 1Q <-> ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) )
4		mulcomnq 9118	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
5		1nq 9093	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
6		recclnq 9131	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
7		mulidnq 9128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
9		recidnq 9130	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2469	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q
12	11	breq1i 4296	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
13	3, 12	bitri 249	. . . . . 6 |- ( w <Q 1Q <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
14		prlem936 9212	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
15	13, 14	sylan2b 472	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
16		prnmax 9160	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> E. z e. A v <Q z )
17	16	ad2ant2r 741	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> E. z e. A v <Q z )
18		elprnq 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> v e. Q. )
19	18	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> v e. Q. )
20	19	3adant3 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v e. Q. )
21		simp1r 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w <Q 1Q )
22		ltrelnq 9091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
23	22	brel 4883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w <Q 1Q -> ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) )
24	23	simpld 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w <Q 1Q -> w e. Q. )
25	21, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w e. Q. )
26		simp3 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v <Q z )
27		simp2r 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
28		ltrnq 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v <Q z <-> ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) )
29		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` z ) e. _V
30		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` v ) e. _V
31		ltmnq 9137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. Q. -> ( x <Q y <-> ( u .Q x ) <Q ( u .Q y ) ) )
32		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
33		mulcomnq 9118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x .Q y ) = ( y .Q x )
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Q. -> ( ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
35	28, 34	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
36	35	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
37	36	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
38		mulcomnq 9118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v )
39		recidnq 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = 1Q )
40	38, 39	syl5eqr 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( ( *Q ` v ) .Q v ) = 1Q )
41		recidnq 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
42	40, 41	oveqan12d 6109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
43		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
44		mulassnq 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x .Q y ) .Q u ) = ( x .Q ( y .Q u ) )
45		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( *Q ` w ) e. _V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
47		mulidnq 9128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
50		recclnq 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( *Q ` v ) e. Q. )
51		mulclnq 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( *Q ` v ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
52	50, 51	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
53		recmulnq 9129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
55	49, 54	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
56	55	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
57	56	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
58	57	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A -> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
59	37, 58	anim12d 560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
60		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. _V
61		breq2 4293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
62		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
63	62	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
64	63	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
65	61, 64	anbi12d 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
66	60, 65	spcev 3061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
67		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. _V
68		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( x <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y ) )
69	68	anbi1d 699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
70	69	exbidv 1685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
72	67, 70, 71	elab2 3106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
73	66, 72	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
74	59, 73	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B ) )
75	74	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
77	22	brel 4883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v <Q z -> ( v e. Q. /\ z e. Q. ) )
78	77	simprd 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v <Q z -> z e. Q. )
79	78	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> z e. Q. )
80		mulcomnq 9118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w )
81		mulidnq 9128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
82	80, 81	syl5reqr 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
83		mulassnq 9124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) )
84		recidnq 9130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
85	84	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
86	83, 85	syl5reqr 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Q. -> ( 1Q .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
87	82, 86	sylan9eqr 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
88	79, 25, 87	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
89		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
90	89	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
91	90	rspcev 3070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
92	76, 88, 91	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
93	92	3expia 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( v <Q z -> E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
94	93	reximdv 2825	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
95	71	reclem2pr 9213	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
96		df-mp 9149	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
97		mulclnq 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
98	96, 97	genpelv 9165	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
99	95, 98	mpdan 663	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
100	99	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
101	94, 100	sylibrd 234	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> w e. ( A .P. B ) ) )
102	17, 101	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> w e. ( A .P. B ) )
103	15, 102	rexlimddv 2843	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> w e. ( A .P. B ) )
104	103	ex 434	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w <Q 1Q -> w e. ( A .P. B ) ) )
105	2, 104	syl5bi 217	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. 1P -> w e. ( A .P. B ) ) )
106	105	ssrdv 3359	1 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   E.wrex 2714   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Q.cnq 9015   1Qc1q 9016   .Q cmq 9019   *Qcrq 9020   <Q cltq 9021   P.cnp 9022   1Pc1p 9023   .P. cmp 9025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ni 9037  df-pli 9038  df-mi 9039  df-lti 9040  df-plpq 9073  df-mpq 9074  df-ltpq 9075  df-enq 9076  df-nq 9077  df-erq 9078  df-plq 9079  df-mq 9080  df-1nq 9081  df-rq 9082  df-ltnq 9083  df-np 9146  df-1p 9147  df-mp 9149

This theorem is referenced by:  reclem4pr  9215