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Theorem reclem3pr 8882
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem3pr  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables  z  w  v  u  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 8815 . . . 4  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2511 . . 3  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
3 ltrnq 8812 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q
`  w ) )
4 mulcomnq 8786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )
5 1nq 8761 . . . . . . . . . 10  |-  1Q  e.  Q.
6 recclnq 8799 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  1Q )  e. 
Q. )
7 mulidnq 8796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( *Q `  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q )
9 recidnq 8798 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q )
105, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1Q 
.Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q
114, 8, 103eqtr3i 2432 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
1211breq1i 4179 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  1Q ) 
<Q  ( *Q `  w
)  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
133, 12bitri 241 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
14 prlem936 8880 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
1513, 14sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
16 prnmax 8828 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
1716ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
18 elprnq 8824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  Q. )
1918ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  v  e.  Q. )
20193adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  e.  Q. )
21 simp1r 982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  <Q  1Q )
22 ltrelnq 8759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
2322brel 4885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2423simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  e.  Q. )
26 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  <Q  z )
27 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )
28 ltrnq 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  <->  ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v ) )
29 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
30 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  v )  e. 
_V
31 ltmnq 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( u  .Q  x )  <Q  (
u  .Q  y ) ) )
32 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
33 mulcomnq 8786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
( *Q `  z
)  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3528, 34syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) ) )
3736biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
38 mulcomnq 8786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q `  v )  .Q  v
)
39 recidnq 8798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4038, 39syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
41 recidnq 8798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4240, 41oveqan12d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
43 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
44 mulassnq 8792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  .Q  y )  .Q  u )  =  ( x  .Q  (
y  .Q  u ) )
45 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( *Q
`  w )  e. 
_V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  v )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
47 mulidnq 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
485, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
50 recclnq 8799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
51 mulclnq 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
5250, 51sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
53 recmulnq 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
5549, 54mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
5655eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A  <->  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A ) )
5756notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A  <->  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )
5857biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
5937, 58anim12d 547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
60 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  v )  .Q  w )  e. 
_V
61 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
62 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
6362eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A
) )
6463notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
6561, 64anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
6660, 65spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  ->  E. y ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
67 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e. 
_V
68 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  y
) )
6968anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
7069exbidv 1633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
7267, 70, 71elab2 3045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
7366, 72sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B )
7459, 73syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B ) )
7574imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B )
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  B
)
7722brel 4885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
7877simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
79783ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  z  e.  Q. )
80 mulcomnq 8786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w
)
81 mulidnq 8796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
8280, 81syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
83 mulassnq 8792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) )
84 recidnq 8798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8584oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8683, 85syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
8782, 86sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
8879, 25, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
89 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9089eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9190rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) )
9276, 88, 91syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) )
93923expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9493reximdv 2777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9571reclem2pr 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
96 df-mp 8817 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
97 mulclnq 8780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
9896, 97genpelv 8833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
9995, 98mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10099ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10194, 100sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
10217, 101mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) )
10315, 102rexlimddv 2794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) )
104103ex 424 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
1052, 104syl5bi 209 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  1P  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) )
106105ssrdv 3314 1  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683   1Qc1q 8684    .Q cmq 8687   *Qcrq 8688    <Q cltq 8689   P.cnp 8690   1Pc1p 8691    .P. cmp 8693
This theorem is referenced by:  reclem4pr  8883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-1p 8815  df-mp 8817
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