MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem3pr Structured version   Unicode version

Theorem reclem3pr 9218
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem3pr  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables  z  w  v  u  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 9151 . . . 4  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2550 . . 3  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
3 ltrnq 9148 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q
`  w ) )
4 mulcomnq 9122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )
5 1nq 9097 . . . . . . . . . 10  |-  1Q  e.  Q.
6 recclnq 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  1Q )  e. 
Q. )
7 mulidnq 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( *Q `  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q )
9 recidnq 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q )
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1Q 
.Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q
114, 8, 103eqtr3i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
1211breq1i 4299 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  1Q ) 
<Q  ( *Q `  w
)  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
133, 12bitri 249 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
14 prlem936 9216 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
1513, 14sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
16 prnmax 9164 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
1716ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
18 elprnq 9160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  Q. )
1918ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  v  e.  Q. )
20193adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  e.  Q. )
21 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  <Q  1Q )
22 ltrelnq 9095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
2322brel 4887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2423simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  e.  Q. )
26 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  <Q  z )
27 simp2r 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )
28 ltrnq 9148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  <->  ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v ) )
29 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
30 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  v )  e. 
_V
31 ltmnq 9141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( u  .Q  x )  <Q  (
u  .Q  y ) ) )
32 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
33 mulcomnq 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
( *Q `  z
)  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3528, 34syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) ) )
3736biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
38 mulcomnq 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q `  v )  .Q  v
)
39 recidnq 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4038, 39syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
41 recidnq 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4240, 41oveqan12d 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
43 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
44 mulassnq 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  .Q  y )  .Q  u )  =  ( x  .Q  (
y  .Q  u ) )
45 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( *Q
`  w )  e. 
_V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  v )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
47 mulidnq 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
50 recclnq 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
51 mulclnq 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
5250, 51sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
53 recmulnq 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
5549, 54mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
5655eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A  <->  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A ) )
5756notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A  <->  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )
5857biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
5937, 58anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
60 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  v )  .Q  w )  e. 
_V
61 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
62 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
6362eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A
) )
6463notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
6561, 64anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
6660, 65spcev 3064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  ->  E. y ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
67 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e. 
_V
68 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  y
) )
6968anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
7069exbidv 1680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
7267, 70, 71elab2 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
7366, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B )
7459, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B ) )
7574imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B )
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  B
)
7722brel 4887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
7877simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
79783ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  z  e.  Q. )
80 mulcomnq 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w
)
81 mulidnq 9132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
8280, 81syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
83 mulassnq 9128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) )
84 recidnq 9134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8584oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8683, 85syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
8782, 86sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
8879, 25, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
89 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9089eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9190rspcev 3073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) )
9276, 88, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) )
93923expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9493reximdv 2827 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9571reclem2pr 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
96 df-mp 9153 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
97 mulclnq 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
9896, 97genpelv 9169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
9995, 98mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10099ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10194, 100sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
10217, 101mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) )
10315, 102rexlimddv 2845 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) )
104103ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
1052, 104syl5bi 217 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  1P  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) )
106105ssrdv 3362 1  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2716    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Q.cnq 9019   1Qc1q 9020    .Q cmq 9023   *Qcrq 9024    <Q cltq 9025   P.cnp 9026   1Pc1p 9027    .P. cmp 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ni 9041  df-pli 9042  df-mi 9043  df-lti 9044  df-plpq 9077  df-mpq 9078  df-ltpq 9079  df-enq 9080  df-nq 9081  df-erq 9082  df-plq 9083  df-mq 9084  df-1nq 9085  df-rq 9086  df-ltnq 9087  df-np 9150  df-1p 9151  df-mp 9153
This theorem is referenced by:  reclem4pr  9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator