Theorem reclem3pr 9463

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	|- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 9396	. . . 4 |- 1P = { w | w <Q 1Q }
2	1	abeq2i 2547	. . 3 |- ( w e. 1P <-> w <Q 1Q )
3		ltrnq 9393	. . . . . . 7 |- ( w <Q 1Q <-> ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) )
4		mulcomnq 9367	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
5		1nq 9342	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
6		recclnq 9380	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
7		mulidnq 9377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
9		recidnq 9379	. . . . . . . . . 10 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2457	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q
12	11	breq1i 4424	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
13	3, 12	bitri 252	. . . . . 6 |- ( w <Q 1Q <-> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
14		prlem936 9461	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
15	13, 14	sylan2b 477	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> E. v e. A -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
16		prnmax 9409	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> E. z e. A v <Q z )
17	16	ad2ant2r 751	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> E. z e. A v <Q z )
18		elprnq 9405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ v e. A ) -> v e. Q. )
19	18	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> v e. Q. )
20	19	3adant3 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v e. Q. )
21		simp1r 1030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w <Q 1Q )
22		ltrelnq 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
23	22	brel 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w <Q 1Q -> ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) )
24	23	simpld 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w <Q 1Q -> w e. Q. )
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w e. Q. )
26		simp3 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> v <Q z )
27		simp2r 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A )
28		ltrnq 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v <Q z <-> ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) )
29		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` z ) e. _V
30		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( *Q ` v ) e. _V
31		ltmnq 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. Q. -> ( x <Q y <-> ( u .Q x ) <Q ( u .Q y ) ) )
32		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
33		mulcomnq 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x .Q y ) = ( y .Q x )
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Q. -> ( ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
35	28, 34	syl5bb 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
36	35	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
37	36	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v <Q z -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
38		mulcomnq 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v )
39		recidnq 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = 1Q )
40	38, 39	syl5eqr 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( ( *Q ` v ) .Q v ) = 1Q )
41		recidnq 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
42	40, 41	oveqan12d 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
43		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- v e. _V
44		mulassnq 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x .Q y ) .Q u ) = ( x .Q ( y .Q u ) )
45		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( *Q ` w ) e. _V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
47		mulidnq 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
50		recclnq 9380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( *Q ` v ) e. Q. )
51		mulclnq 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( *Q ` v ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
52	50, 51	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
53		recmulnq 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
55	49, 54	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
56	55	eleq1d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
57	56	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A <-> -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) )
58	57	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A -> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
59	37, 58	anim12d 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
60		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. _V
61		breq2 4421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
62		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
63	62	eleq1d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. A <-> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
64	63	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( -. ( *Q ` y ) e. A <-> -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) )
65	61, 64	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) ) )
66	60, 65	spcev 3170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
67		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. _V
68		breq1 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( x <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y ) )
69	68	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
70	69	exbidv 1758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) ) )
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = { x | E. y ( x <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) }
72	67, 70, 71	elab2 3218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ -. ( *Q ` y ) e. A ) )
73	66, 72	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ -. ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
74	59, 73	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B ) )
75	74	imp 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B )
77	22	brel 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v <Q z -> ( v e. Q. /\ z e. Q. ) )
78	77	simprd 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v <Q z -> z e. Q. )
79	78	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> z e. Q. )
80		mulcomnq 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w )
81		mulidnq 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
82	80, 81	syl5reqr 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
83		mulassnq 9373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) )
84		recidnq 9379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
85	84	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
86	83, 85	syl5reqr 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Q. -> ( 1Q .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
87	82, 86	sylan9eqr 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
88	79, 25, 87	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
89		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
90	89	eqeq2d 2434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
91	90	rspcev 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. B /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
92	76, 88, 91	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) /\ v <Q z ) -> E. x e. B w = ( z .Q x ) )
93	92	3expia 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( v <Q z -> E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
94	93	reximdv 2897	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
95	71	reclem2pr 9462	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
96		df-mp 9398	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> { u | E. f e. y E. g e. w u = ( f .Q g ) } )
97		mulclnq 9361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
98	96, 97	genpelv 9414	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
99	95, 98	mpdan 672	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
100	99	ad2antrr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( w e. ( A .P. B ) <-> E. z e. A E. x e. B w = ( z .Q x ) ) )
101	94, 100	sylibrd 237	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> ( E. z e. A v <Q z -> w e. ( A .P. B ) ) )
102	17, 101	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. A /\ -. ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. A ) ) -> w e. ( A .P. B ) )
103	15, 102	rexlimddv 2919	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> w e. ( A .P. B ) )
104	103	ex 435	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w <Q 1Q -> w e. ( A .P. B ) ) )
105	2, 104	syl5bi 220	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. 1P -> w e. ( A .P. B ) ) )
106	105	ssrdv 3467	1 |- ( A e. P. -> 1P C_ ( A .P. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   {cab 2405   E.wrex 2774   C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Q.cnq 9266   1Qc1q 9267   .Q cmq 9270   *Qcrq 9271   <Q cltq 9272   P.cnp 9273   1Pc1p 9274   .P. cmp 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-1p 9396  df-mp 9398

This theorem is referenced by:  reclem4pr  9464