MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 15975
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3176 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4291 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
6 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
75, 6pwsval 15969 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
94, 8syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109sseq2d 3596 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
113, 10syl5bb 271 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
1211anbi1d 737 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))))
13 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑅𝑉)
14 fvconst2g 6372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1513, 14sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1615fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
17 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (le‘𝑅)
1816, 17syl6eqr 2662 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
1918breqd 4594 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
2019ralbidva 2968 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
21 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
23 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
245, 21, 4, 13, 22, 23pwselbas 15972 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
27 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
285, 21, 4, 13, 22, 27pwselbas 15972 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
29 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑔 Fn 𝐼)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
31 inidm 3784 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
32 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
33 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
3426, 30, 22, 22, 31, 32, 33ofrfval 6803 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝑟 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
3520, 34bitr4d 270 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3635pm5.32da 671 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔)))
37 brinxp2 5103 . . . . . 6 (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝑓𝑟 𝑂𝑔))
38 df-3an 1033 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵𝑓𝑟 𝑂𝑔) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3937, 38bitri 263 . . . . 5 (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
4036, 39syl6bbr 277 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
4112, 40bitr3d 269 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
4241opabbidv 4648 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
43 pwsle.l . . . 4 = (le‘𝑌)
447fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
4543, 44syl5eq 2656 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
46 eqid 2610 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
47 fvex 6113 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
49 simpr 476 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
50 snex 4835 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
51 xpexg 6858 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
5249, 50, 51sylancl 693 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
53 eqid 2610 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
54 snnzg 4251 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
5554adantr 480 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
56 dmxp 5265 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
5755, 56syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
58 eqid 2610 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
5946, 48, 52, 53, 57, 58prdsle 15945 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
6045, 59eqtrd 2644 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
61 inss2 3796 . . . . 5 ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵)
62 relxp 5150 . . . . 5 Rel (𝐵 × 𝐵)
63 relss 5129 . . . . 5 (( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (Rel (𝐵 × 𝐵) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6461, 62, 63mp2 9 . . . 4 Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
6564a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
66 dfrel4v 5503 . . 3 (Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6765, 66sylib 207 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6842, 60, 673eqtr4d 2654 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642   × cxp 5036  dom cdm 5038  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑟 cofr 6794  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  lecple 15775  Xscprds 15929  s cpws 15930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-pws 15933
This theorem is referenced by:  pwsleval  15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator