Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjcn 21224
 Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1 𝑌 = 𝐽
ptpjcn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (∏t𝐹)
21ptuni 21207 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
323adant3 1074 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
4 ptpjcn.1 . . . 4 𝑌 = 𝐽
53, 4syl6reqr 2663 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝑌 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
65mpteq1d 4666 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)))
7 pttop 21195 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
873adant3 1074 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (∏t𝐹) ∈ Top)
91, 8syl5eqel 2692 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 ffvelrn 6265 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
11103adant1 1072 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
129, 11jca 553 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top))
13 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1413elixp 7801 . . . . . . . . 9 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
1514simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
16 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐼))
17 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1817unieqd 4382 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1916, 18eleq12d 2682 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
2019rspcva 3280 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2115, 20sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝐼𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
22213ad2antl3 1218 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) ∧ 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
23 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼))
2422, 23fmptd 6292 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼))
255feq2d 5944 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ↔ (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼)))
2624, 25mpbird 246 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼))
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} = {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
2827ptbas 21192 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases)
29 bastg 20581 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
31 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶Top → 𝐹 Fn 𝐴)
3227ptval 21183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → (∏t𝐹) = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
331, 32syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3431, 33sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3530, 34sseqtr4d 3605 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
37 eqid 2610 . . . . . . . . 9 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
3827, 37ptpjpre2 21193 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))})
3936, 38sseldd 3569 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4039expr 641 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → (𝑢 ∈ (𝐹𝐼) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
4140ralrimiv 2948 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
42413impa 1251 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4326, 42jca 553 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
44 eqid 2610 . . . 4 (𝐹𝐼) = (𝐹𝐼)
454, 44iscn2 20852 . . 3 ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top) ∧ ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
4612, 43, 45sylanbrc 695 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
476, 46eqeltrd 2688 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794  Fincfn 7841  topGenctg 15921  ∏tcpt 15922  Topctop 20517  TopBasesctb 20520   Cn ccn 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841 This theorem is referenced by:  pthaus  21251  ptrescn  21252  xkopjcn  21269  pt1hmeo  21419  ptunhmeo  21421  tmdgsum  21709  symgtgp  21715  prdstmdd  21737  prdstgpd  21738  poimir  32612  broucube  32613
 Copyright terms: Public domain W3C validator