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Theorem ptpjcn 19300
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables  g 
k  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
21ptuni 19283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
323adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
4 ptpjcn.1 . . . 4  |-  Y  = 
U. J
53, 4syl6reqr 2511 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  Y  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
65mpteq1d 4471 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) )
7 pttop 19271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
873adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
91, 8syl5eqel 2543 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  e.  Top )
10 ffvelrn 5940 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
11103adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
129, 11jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  ( F `  I
)  e.  Top )
)
13 vex 3071 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1413elixp 7370 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
1514simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
16 fveq2 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
x `  k )  =  ( x `  I ) )
17 fveq2 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
1817unieqd 4199 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
1916, 18eleq12d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
2019rspcva 3167 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
2115, 20sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
22213ad2antl3 1152 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
23 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )
2422, 23fmptd 5966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) --> U. ( F `  I ) )
255feq2d 5645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  <->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) :
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) --> U. ( F `  I ) ) )
2624, 25mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : Y --> U. ( F `  I
) )
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2827ptbas 19268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
29 bastg 18687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
31 ffn 5657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
3227ptval 19259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
331, 32syl5eq 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3431, 33sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3530, 34sseqtr4d 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
37 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
3827, 37ptpjpre2 19269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  {
w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3936, 38sseldd 3455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4039expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  ( u  e.  ( F `  I
)  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
4140ralrimiv 2820 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  A. u  e.  ( F `  I
) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J )
42413impa 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4326, 42jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
44 eqid 2451 . . . 4  |-  U. ( F `  I )  =  U. ( F `  I )
454, 44iscn2 18958 . . 3  |-  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) )  <-> 
( ( J  e. 
Top  /\  ( F `  I )  e.  Top )  /\  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) ) )
4612, 43, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
476, 46eqeltrd 2539 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796    \ cdif 3423    C_ wss 3426   U.cuni 4189    |-> cmpt 4448   `'ccnv 4937   "cima 4941    Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   X_cixp 7363   Fincfn 7410   topGenctg 14478   Xt_cpt 14479   Topctop 18614   TopBasesctb 18618    Cn ccn 18944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-fin 7414  df-fi 7762  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-cn 18947
This theorem is referenced by:  pthaus  19327  ptrescn  19328  xkopjcn  19345  pt1hmeo  19495  ptunhmeo  19497  tmdgsum  19782  symgtgp  19788  prdstmdd  19810  prdstgpd  19811
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