Theorem ptpjcn 19300

Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptpjcn.1	|- Y = U. J
ptpjcn.2	|- J = ( Xt_ ` F )

Assertion

Ref	Expression
ptpjcn	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, I   x, V   x, Y

Allowed substitution hint:   J( x)

Proof of Theorem ptpjcn

Dummy variables g k u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptpjcn.2	. . . . . 6 |- J = ( Xt_ ` F )
2	1	ptuni 19283	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
3	2	3adant3 1008	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
4		ptpjcn.1	. . . 4 |- Y = U. J
5	3, 4	syl6reqr 2511	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> Y = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
6	5	mpteq1d 4471	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) = ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) )
7		pttop 19271	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
8	7	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
9	1, 8	syl5eqel 2543	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> J e. Top )
10		ffvelrn 5940	. . . . 5 |- ( ( F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top )
11	10	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top )
12	9, 11	jca 532	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( J e. Top /\ ( F ` I ) e. Top ) )
13		vex 3071	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
14	13	elixp 7370	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( x Fn A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
15	14	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
16		fveq2 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> ( x ` k ) = ( x ` I ) )
17		fveq2 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = I -> ( F ` k ) = ( F ` I ) )
18	17	unieqd 4199	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` I ) )
19	16, 18	eleq12d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( k = I -> ( ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) <-> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) )
20	19	rspcva 3167	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
21	15, 20	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( I e. A /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
22	21	3ad2antl3 1152	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
23		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) = ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) )
24	22, 23	fmptd 5966	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) )
25	5	feq2d 5645	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) <-> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) ) )
26	24, 25	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) )
27		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
28	27	ptbas 19268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
29		bastg 18687	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
31		ffn 5657	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> Top -> F Fn A )
32	27	ptval 19259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
33	1, 32	syl5eq 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
34	31, 33	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
35	30, 34	sseqtr4d 3491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J )
36	35	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J )
37		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
38	27, 37	ptpjpre2 19269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } )
39	36, 38	sseldd 3455	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
40	39	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> ( u e. ( F ` I ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) )
41	40	ralrimiv 2820	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
42	41	3impa 1183	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
43	26, 42	jca 532	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) )
44		eqid 2451	. . . 4 |- U. ( F ` I ) = U. ( F ` I )
45	4, 44	iscn2 18958	. . 3 |- ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F ` I ) e. Top ) /\ ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) ) )
46	12, 43, 45	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )
47	6, 46	eqeltrd 2539	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   \ cdif 3423   C_ wss 3426   U.cuni 4189   |-> cmpt 4448   `'ccnv 4937   "cima 4941   Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   X_cixp 7363   Fincfn 7410   topGenctg 14478   Xt_cpt 14479   Topctop 18614   TopBasesctb 18618   Cn ccn 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-fin 7414  df-fi 7762  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-cn 18947

This theorem is referenced by:  pthaus  19327  ptrescn  19328  xkopjcn  19345  pt1hmeo  19495  ptunhmeo  19497  tmdgsum  19782  symgtgp  19788  prdstmdd  19810  prdstgpd  19811