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Theorem ptpjcn 20703
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables  g 
k  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
21ptuni 20686 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
323adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
4 ptpjcn.1 . . . 4  |-  Y  = 
U. J
53, 4syl6reqr 2524 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  Y  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
65mpteq1d 4477 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) )
7 pttop 20674 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
873adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
91, 8syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  e.  Top )
10 ffvelrn 6035 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
11103adant1 1048 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
129, 11jca 541 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  ( F `  I
)  e.  Top )
)
13 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1413elixp 7547 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
1514simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
16 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
x `  k )  =  ( x `  I ) )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
1817unieqd 4200 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
1916, 18eleq12d 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
2019rspcva 3134 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
2115, 20sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
22213ad2antl3 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
23 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )
2422, 23fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) --> U. ( F `  I ) )
255feq2d 5725 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  <->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) :
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) --> U. ( F `  I ) ) )
2624, 25mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : Y --> U. ( F `  I
) )
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2827ptbas 20671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
29 bastg 20058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
31 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
3227ptval 20662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
331, 32syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3431, 33sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3530, 34sseqtr4d 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
3635adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
37 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
3827, 37ptpjpre2 20672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  {
w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3936, 38sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4039expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  ( u  e.  ( F `  I
)  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
4140ralrimiv 2808 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  A. u  e.  ( F `  I
) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J )
42413impa 1226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4326, 42jca 541 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
44 eqid 2471 . . . 4  |-  U. ( F `  I )  =  U. ( F `  I )
454, 44iscn2 20331 . . 3  |-  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) )  <-> 
( ( J  e. 
Top  /\  ( F `  I )  e.  Top )  /\  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) ) )
4612, 43, 45sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
476, 46eqeltrd 2549 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    C_ wss 3390   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   X_cixp 7540   Fincfn 7587   topGenctg 15414   Xt_cpt 15415   Topctop 19994   TopBasesctb 19997    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320
This theorem is referenced by:  pthaus  20730  ptrescn  20731  xkopjcn  20748  pt1hmeo  20898  ptunhmeo  20900  tmdgsum  21188  symgtgp  21194  prdstmdd  21216  prdstgpd  21217  poimir  32037  broucube  32038
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