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Theorem ptpjcn 19143
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables  g 
k  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
21ptuni 19126 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
323adant3 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
4 ptpjcn.1 . . . 4  |-  Y  = 
U. J
53, 4syl6reqr 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  Y  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
65mpteq1d 4370 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) )
7 pttop 19114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
873adant3 1003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
91, 8syl5eqel 2525 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  e.  Top )
10 ffvelrn 5838 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
11103adant1 1001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
129, 11jca 529 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  ( F `  I
)  e.  Top )
)
13 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1413elixp 7266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
1514simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
16 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
x `  k )  =  ( x `  I ) )
17 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
1817unieqd 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
1916, 18eleq12d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
2019rspcva 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
2115, 20sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
22213ad2antl3 1147 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
23 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )
2422, 23fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) --> U. ( F `  I ) )
255feq2d 5544 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  <->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) :
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) --> U. ( F `  I ) ) )
2624, 25mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : Y --> U. ( F `  I
) )
27 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2827ptbas 19111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
29 bastg 18530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
31 ffn 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
3227ptval 19102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
331, 32syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3431, 33sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3530, 34sseqtr4d 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
3635adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
37 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
3827, 37ptpjpre2 19112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  {
w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3936, 38sseldd 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4039expr 612 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  ( u  e.  ( F `  I
)  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
4140ralrimiv 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  A. u  e.  ( F `  I
) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J )
42413impa 1177 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4326, 42jca 529 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
44 eqid 2441 . . . 4  |-  U. ( F `  I )  =  U. ( F `  I )
454, 44iscn2 18801 . . 3  |-  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) )  <-> 
( ( J  e. 
Top  /\  ( F `  I )  e.  Top )  /\  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) ) )
4612, 43, 45sylanbrc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
476, 46eqeltrd 2515 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3322    C_ wss 3325   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   X_cixp 7259   Fincfn 7306   topGenctg 14372   Xt_cpt 14373   Topctop 18457   TopBasesctb 18461    Cn ccn 18787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790
This theorem is referenced by:  pthaus  19170  ptrescn  19171  xkopjcn  19188  pt1hmeo  19338  ptunhmeo  19340  tmdgsum  19625  symgtgp  19631  prdstmdd  19653  prdstgpd  19654
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