Theorem ptpjcn 20404

Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptpjcn.1	|- Y = U. J
ptpjcn.2	|- J = ( Xt_ ` F )

Assertion

Ref	Expression
ptpjcn	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, I   x, V   x, Y

Allowed substitution hint:   J( x)

Proof of Theorem ptpjcn

Dummy variables g k u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptpjcn.2	. . . . . 6 |- J = ( Xt_ ` F )
2	1	ptuni 20387	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
3	2	3adant3 1017	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
4		ptpjcn.1	. . . 4 |- Y = U. J
5	3, 4	syl6reqr 2462	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> Y = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
6	5	mpteq1d 4476	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) = ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) )
7		pttop 20375	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
8	7	3adant3 1017	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
9	1, 8	syl5eqel 2494	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> J e. Top )
10		ffvelrn 6007	. . . . 5 |- ( ( F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top )
11	10	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top )
12	9, 11	jca 530	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( J e. Top /\ ( F ` I ) e. Top ) )
13		vex 3062	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
14	13	elixp 7514	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( x Fn A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
15	14	simprbi 462	. . . . . . . 8 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
16		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> ( x ` k ) = ( x ` I ) )
17		fveq2 5849	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = I -> ( F ` k ) = ( F ` I ) )
18	17	unieqd 4201	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` I ) )
19	16, 18	eleq12d 2484	. . . . . . . . 9 |- ( k = I -> ( ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) <-> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) )
20	19	rspcva 3158	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
21	15, 20	sylan2 472	. . . . . . 7 |- ( ( I e. A /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
22	21	3ad2antl3 1161	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) )
23		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) = ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) )
24	22, 23	fmptd 6033	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) )
25	5	feq2d 5701	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) <-> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) ) )
26	24, 25	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) )
27		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
28	27	ptbas 20372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
29		bastg 19759	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
31		ffn 5714	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> Top -> F Fn A )
32	27	ptval 20363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
33	1, 32	syl5eq 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
34	31, 33	sylan2 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
35	30, 34	sseqtr4d 3479	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J )
36	35	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J )
37		eqid 2402	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
38	27, 37	ptpjpre2 20373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } )
39	36, 38	sseldd 3443	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
40	39	expr 613	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> ( u e. ( F ` I ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) )
41	40	ralrimiv 2816	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
42	41	3impa 1192	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J )
43	26, 42	jca 530	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) )
44		eqid 2402	. . . 4 |- U. ( F ` I ) = U. ( F ` I )
45	4, 44	iscn2 20032	. . 3 |- ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F ` I ) e. Top ) /\ ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) ) )
46	12, 43, 45	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )
47	6, 46	eqeltrd 2490	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   \ cdif 3411   C_ wss 3414   U.cuni 4191   |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   "cima 4826   Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   X_cixp 7507   Fincfn 7554   topGenctg 15052   Xt_cpt 15053   Topctop 19686   TopBasesctb 19690   Cn ccn 20018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-fin 7558  df-fi 7905  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cn 20021

This theorem is referenced by:  pthaus  20431  ptrescn  20432  xkopjcn  20449  pt1hmeo  20599  ptunhmeo  20601  tmdgsum  20886  symgtgp  20892  prdstmdd  20914  prdstgpd  20915