Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfconj 17709
 Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
31, 2pmtrfb 17708 . . . 4 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
43simp1bi 1069 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
54adantr 480 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
6 simpr 476 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
71, 2pmtrff1o 17706 . . . . 5 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
87adantr 480 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
9 f1oco 6072 . . . 4 ((𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
106, 8, 9syl2anc 691 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
11 f1ocnv 6062 . . . 4 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
1211adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
13 f1oco 6072 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
1410, 12, 13syl2anc 691 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷)
15 f1of 6050 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
167, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐹:𝐷𝐷)
18 f1omvdconj 17689 . . . . 5 ((𝐹:𝐷𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
1917, 6, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
20 f1of1 6049 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
22 difss 3699 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
23 dmss 5245 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
25 fdm 5964 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
2624, 25syl5sseq 3616 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
2717, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
285, 27ssexd 4733 . . . . 5 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V)
29 f1imaeng 7902 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ∈ V) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
3021, 27, 28, 29syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
3119, 30eqbrtrd 4605 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ))
323simp3bi 1071 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
3332adantr 480 . . 3 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
34 entr 7894 . . 3 ((dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜)
3531, 33, 34syl2anc 691 . 2 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜)
361, 2pmtrfb 17708 . 2 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ≈ 2𝑜))
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1239 1 ((𝐹𝑅𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∈ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  pmTrspcpmtr 17684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pmtr 17685 This theorem is referenced by:  psgnunilem1  17736
 Copyright terms: Public domain W3C validator