Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsssg 17710
 Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsssg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}))
2 eqidd 2611 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2611 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3600 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
98symggrp 17643 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
115, 10grpidcl 17273 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
138symgid 17644 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1413difeq1d 3689 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1514dmeqd 5248 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
16 resss 5342 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
17 ssdif0 3896 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
1816, 17mpbi 219 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
1918dmeqi 5247 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
20 dm0 5260 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2119, 20eqtri 2632 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22 0ss 3924 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑋
2321, 22eqsstri 3598 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ⊆ 𝑋
2415, 23syl6eqssr 3619 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
25 difeq1 3683 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
2625dmeqd 5248 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
2726sseq1d 3595 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2827elrab 3331 . . 3 ((0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2912, 24, 28sylanbrc 695 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
30 biid 250 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
31 difeq1 3683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3231dmeqd 5248 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3332sseq1d 3595 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3433elrab 3331 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
35 difeq1 3683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3635dmeqd 5248 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3736sseq1d 3595 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3837elrab 3331 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3993ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
40 simp2l 1080 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
41 simp3l 1082 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
435, 42grpcl 17253 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4439, 40, 41, 43syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
458, 5, 42symgov 17633 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4640, 41, 45syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4746difeq1d 3689 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
4847dmeqd 5248 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
49 mvdco 17688 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
50 simp2r 1081 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
51 simp3r 1083 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5250, 51unssd 3751 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
5349, 52syl5ss 3579 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5448, 53eqsstrd 3602 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
55 difeq1 3683 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5655dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5756sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
5857elrab 3331 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
5944, 54, 58sylanbrc 695 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
6030, 34, 38, 59syl3anb 1361 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
619adantr 480 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
62 simprl 790 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
63 eqid 2610 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
645, 63grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6561, 62, 64syl2anc 691 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
668, 5, 63symginv 17645 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6766ad2antrl 760 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6867difeq1d 3689 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
6968dmeqd 5248 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
708, 5symgbasf1o 17626 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7170ad2antrl 760 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
72 f1omvdcnv 17687 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7469, 73eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75 simprr 792 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
7674, 75eqsstrd 3602 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
77 difeq1 3683 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
7877dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
7978sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
8079elrab 3331 . . . 4 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
8165, 76, 80sylanbrc 695 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
8234, 81sylan2b 491 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
831, 2, 3, 7, 29, 60, 82, 9issubgrpd2 17433 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   I cid 4948  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  psgnunilem5  17737
 Copyright terms: Public domain W3C validator