Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrfconj Unicode version

Theorem pmtrfconj 27275
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . 5  |-  R  =  ran  T
31, 2pmtrfb 27274 . . . 4  |-  ( F  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  F : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o ) )
43simp1bi 972 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  D  e.  _V )
54adantr 452 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-onto-> D )
71, 2pmtrff1o 27272 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F : D -1-1-onto-> D )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D -1-1-onto-> D )
9 f1oco 5657 . . . 4  |-  ( ( G : D -1-1-onto-> D  /\  F : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
106, 8, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
11 f1ocnv 5646 . . . 4  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
1211adantl 453 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
13 f1oco 5657 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : D -1-1-onto-> D  /\  `' G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D
)
1410, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) : D -1-1-onto-> D )
15 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( F : D -1-1-onto-> D  ->  F : D
--> D )
167, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D --> D )
18 f1omvdconj 27257 . . . . 5  |-  ( ( F : D --> D  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
1917, 6, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
20 f1of1 5632 . . . . . 6  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  G : D -1-1-> D )
2120adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-> D )
22 difss 3434 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  _I  )  C_  F
23 dmss 5028 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F 
\  _I  )  C_  dom  F )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  C_  dom  F
25 fdm 5554 . . . . . . 7  |-  ( F : D --> D  ->  dom  F  =  D )
2624, 25syl5sseq 3356 . . . . . 6  |-  ( F : D --> D  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2717, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
285, 27ssexd 4310 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )
29 f1imaeng 7126 . . . . 5  |-  ( ( G : D -1-1-> D  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )  ->  ( G " dom  ( F  \  _I  )
)  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
3021, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) 
~~  dom  ( F  \  _I  ) )
3119, 30eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
323simp3bi 974 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
3332adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
34 entr 7118 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) 
\  _I  )  ~~  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
3531, 33, 34syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
361, 2pmtrfb 27274 . 2  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o ) )
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    _I cid 4453   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   2oc2o 6677    ~~ cen 7065  pmTrspcpmtr 27252
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  27284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-2o 6684  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pmtr 27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator