MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfconj 16086
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . 5  |-  R  =  ran  T
31, 2pmtrfb 16085 . . . 4  |-  ( F  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  F : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o ) )
43simp1bi 1003 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  D  e.  _V )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-onto-> D )
71, 2pmtrff1o 16083 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F : D -1-1-onto-> D )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D -1-1-onto-> D )
9 f1oco 5766 . . . 4  |-  ( ( G : D -1-1-onto-> D  /\  F : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
106, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
11 f1ocnv 5756 . . . 4  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
1211adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
13 f1oco 5766 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : D -1-1-onto-> D  /\  `' G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D
)
1410, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) : D -1-1-onto-> D )
15 f1of 5744 . . . . . . 7  |-  ( F : D -1-1-onto-> D  ->  F : D
--> D )
167, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D --> D )
18 f1omvdconj 16066 . . . . 5  |-  ( ( F : D --> D  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
1917, 6, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
20 f1of1 5743 . . . . . 6  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  G : D -1-1-> D )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-> D )
22 difss 3586 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  _I  )  C_  F
23 dmss 5142 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F 
\  _I  )  C_  dom  F )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  C_  dom  F
25 fdm 5666 . . . . . . 7  |-  ( F : D --> D  ->  dom  F  =  D )
2624, 25syl5sseq 3507 . . . . . 6  |-  ( F : D --> D  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2717, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
285, 27ssexd 4542 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )
29 f1imaeng 7474 . . . . 5  |-  ( ( G : D -1-1-> D  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )  ->  ( G " dom  ( F  \  _I  )
)  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
3021, 27, 28, 29syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) 
~~  dom  ( F  \  _I  ) )
3119, 30eqbrtrd 4415 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
323simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
3332adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
34 entr 7466 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) 
\  _I  )  ~~  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
3531, 33, 34syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
361, 2pmtrfb 16085 . 2  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o ) )
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    _I cid 4734   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   ran crn 4944   "cima 4946    o. ccom 4947   -->wf 5517   -1-1->wf1 5518   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   2oc2o 7019    ~~ cen 7412  pmTrspcpmtr 16061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-1o 7025  df-2o 7026  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pmtr 16062
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  16113
  Copyright terms: Public domain W3C validator