Theorem pmtrfconj 27275

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	|- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . 5 |- R = ran T
3	1, 2	pmtrfb 27274	. . . 4 |- ( F e. R <-> ( D e. _V /\ F : D -1-1-onto-> D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
4	3	simp1bi 972	. . 3 |- ( F e. R -> D e. _V )
5	4	adantr 452	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
6		simpr 448	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-onto-> D )
7	1, 2	pmtrff1o 27272	. . . . 5 |- ( F e. R -> F : D -1-1-onto-> D )
8	7	adantr 452	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D -1-1-onto-> D )
9		f1oco 5657	. . . 4 |- ( ( G : D -1-1-onto-> D /\ F : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
10	6, 8, 9	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
11		f1ocnv 5646	. . . 4 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> D )
12	11	adantl 453	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> `' G : D -1-1-onto-> D )
13		f1oco 5657	. . 3 |- ( ( ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D /\ `' G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
14	10, 12, 13	syl2anc 643	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
15		f1of 5633	. . . . . . 7 |- ( F : D -1-1-onto-> D -> F : D --> D )
16	7, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( F e. R -> F : D --> D )
17	16	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D --> D )
18		f1omvdconj 27257	. . . . 5 |- ( ( F : D --> D /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
19	17, 6, 18	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
20		f1of1 5632	. . . . . 6 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> G : D -1-1-> D )
21	20	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-> D )
22		difss 3434	. . . . . . . 8 |- ( F \ _I ) C_ F
23		dmss 5028	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
24	22, 23	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
25		fdm 5554	. . . . . . 7 |- ( F : D --> D -> dom F = D )
26	24, 25	syl5sseq 3356	. . . . . 6 |- ( F : D --> D -> dom ( F \ _I ) C_ D )
27	17, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
28	5, 27	ssexd 4310	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) e. _V )
29		f1imaeng 7126	. . . . 5 |- ( ( G : D -1-1-> D /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) e. _V ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
31	19, 30	eqbrtrd 4192	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) )
32	3	simp3bi 974	. . . 4 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
33	32	adantr 452	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
34		entr 7118	. . 3 |- ( ( dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
35	31, 33, 34	syl2anc 643	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
36	1, 2	pmtrfb 27274	. 2 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R <-> ( D e. _V /\ ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D /\ dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o ) )
37	5, 14, 35, 36	syl3anbrc 1138	1 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   _I cid 4453   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   2oc2o 6677   ~~ cen 7065  pmTrspcpmtr 27252

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  27284

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-2o 6684  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pmtr 27253