MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Unicode version

Theorem pmtrfconj 16287
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . 5  |-  R  =  ran  T
31, 2pmtrfb 16286 . . . 4  |-  ( F  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  F : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o ) )
43simp1bi 1011 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  D  e.  _V )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-onto-> D )
71, 2pmtrff1o 16284 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F : D -1-1-onto-> D )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D -1-1-onto-> D )
9 f1oco 5836 . . . 4  |-  ( ( G : D -1-1-onto-> D  /\  F : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
106, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
11 f1ocnv 5826 . . . 4  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
1211adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
13 f1oco 5836 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : D -1-1-onto-> D  /\  `' G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D
)
1410, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) : D -1-1-onto-> D )
15 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( F : D -1-1-onto-> D  ->  F : D
--> D )
167, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D --> D )
18 f1omvdconj 16267 . . . . 5  |-  ( ( F : D --> D  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
1917, 6, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
20 f1of1 5813 . . . . . 6  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  G : D -1-1-> D )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-> D )
22 difss 3631 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  _I  )  C_  F
23 dmss 5200 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F 
\  _I  )  C_  dom  F )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  C_  dom  F
25 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( F : D --> D  ->  dom  F  =  D )
2624, 25syl5sseq 3552 . . . . . 6  |-  ( F : D --> D  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2717, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
285, 27ssexd 4594 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )
29 f1imaeng 7572 . . . . 5  |-  ( ( G : D -1-1-> D  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )  ->  ( G " dom  ( F  \  _I  )
)  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
3021, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) 
~~  dom  ( F  \  _I  ) )
3119, 30eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
323simp3bi 1013 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
3332adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
34 entr 7564 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) 
\  _I  )  ~~  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
3531, 33, 34syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
361, 2pmtrfb 16286 . 2  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o ) )
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   2oc2o 7121    ~~ cen 7510  pmTrspcpmtr 16262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pmtr 16263
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  16314
  Copyright terms: Public domain W3C validator