Theorem pmtrfconj 16086

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	|- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . 5 |- R = ran T
3	1, 2	pmtrfb 16085	. . . 4 |- ( F e. R <-> ( D e. _V /\ F : D -1-1-onto-> D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
4	3	simp1bi 1003	. . 3 |- ( F e. R -> D e. _V )
5	4	adantr 465	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
6		simpr 461	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-onto-> D )
7	1, 2	pmtrff1o 16083	. . . . 5 |- ( F e. R -> F : D -1-1-onto-> D )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D -1-1-onto-> D )
9		f1oco 5766	. . . 4 |- ( ( G : D -1-1-onto-> D /\ F : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
11		f1ocnv 5756	. . . 4 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> D )
12	11	adantl 466	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> `' G : D -1-1-onto-> D )
13		f1oco 5766	. . 3 |- ( ( ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D /\ `' G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
14	10, 12, 13	syl2anc 661	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
15		f1of 5744	. . . . . . 7 |- ( F : D -1-1-onto-> D -> F : D --> D )
16	7, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( F e. R -> F : D --> D )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D --> D )
18		f1omvdconj 16066	. . . . 5 |- ( ( F : D --> D /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
19	17, 6, 18	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
20		f1of1 5743	. . . . . 6 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> G : D -1-1-> D )
21	20	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-> D )
22		difss 3586	. . . . . . . 8 |- ( F \ _I ) C_ F
23		dmss 5142	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
25		fdm 5666	. . . . . . 7 |- ( F : D --> D -> dom F = D )
26	24, 25	syl5sseq 3507	. . . . . 6 |- ( F : D --> D -> dom ( F \ _I ) C_ D )
27	17, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
28	5, 27	ssexd 4542	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) e. _V )
29		f1imaeng 7474	. . . . 5 |- ( ( G : D -1-1-> D /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) e. _V ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
31	19, 30	eqbrtrd 4415	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) )
32	3	simp3bi 1005	. . . 4 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
33	32	adantr 465	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
34		entr 7466	. . 3 |- ( ( dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
35	31, 33, 34	syl2anc 661	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
36	1, 2	pmtrfb 16085	. 2 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R <-> ( D e. _V /\ ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D /\ dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o ) )
37	5, 14, 35, 36	syl3anbrc 1172	1 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   \ cdif 3428   C_ wss 3431   class class class wbr 4395   _I cid 4734   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   ran crn 4944   "cima 4946   o. ccom 4947   -->wf 5517   -1-1->wf1 5518   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   2oc2o 7019   ~~ cen 7412  pmTrspcpmtr 16061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-1o 7025  df-2o 7026  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pmtr 16062

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  16113