Theorem pmtrfconj 17100

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	|- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . 5 |- R = ran T
3	1, 2	pmtrfb 17099	. . . 4 |- ( F e. R <-> ( D e. _V /\ F : D -1-1-onto-> D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
4	3	simp1bi 1022	. . 3 |- ( F e. R -> D e. _V )
5	4	adantr 467	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
6		simpr 463	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-onto-> D )
7	1, 2	pmtrff1o 17097	. . . . 5 |- ( F e. R -> F : D -1-1-onto-> D )
8	7	adantr 467	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D -1-1-onto-> D )
9		f1oco 5834	. . . 4 |- ( ( G : D -1-1-onto-> D /\ F : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
10	6, 8, 9	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
11		f1ocnv 5824	. . . 4 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> D )
12	11	adantl 468	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> `' G : D -1-1-onto-> D )
13		f1oco 5834	. . 3 |- ( ( ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D /\ `' G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
14	10, 12, 13	syl2anc 666	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
15		f1of 5812	. . . . . . 7 |- ( F : D -1-1-onto-> D -> F : D --> D )
16	7, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. R -> F : D --> D )
17	16	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D --> D )
18		f1omvdconj 17080	. . . . 5 |- ( ( F : D --> D /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
19	17, 6, 18	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
20		f1of1 5811	. . . . . 6 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> G : D -1-1-> D )
21	20	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-> D )
22		difss 3559	. . . . . . . 8 |- ( F \ _I ) C_ F
23		dmss 5033	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
25		fdm 5731	. . . . . . 7 |- ( F : D --> D -> dom F = D )
26	24, 25	syl5sseq 3479	. . . . . 6 |- ( F : D --> D -> dom ( F \ _I ) C_ D )
27	17, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
28	5, 27	ssexd 4549	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) e. _V )
29		f1imaeng 7626	. . . . 5 |- ( ( G : D -1-1-> D /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) e. _V ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
31	19, 30	eqbrtrd 4422	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) )
32	3	simp3bi 1024	. . . 4 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
33	32	adantr 467	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
34		entr 7618	. . 3 |- ( ( dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
35	31, 33, 34	syl2anc 666	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
36	1, 2	pmtrfb 17099	. 2 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R <-> ( D e. _V /\ ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D /\ dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o ) )
37	5, 14, 35, 36	syl3anbrc 1191	1 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   C_ wss 3403   class class class wbr 4401   _I cid 4743   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   o. ccom 4837   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   2oc2o 7173   ~~ cen 7563  pmTrspcpmtr 17075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-1o 7179  df-2o 7180  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pmtr 17076

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  17127