Theorem pmtrfconj 16287

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	|- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . 5 |- R = ran T
3	1, 2	pmtrfb 16286	. . . 4 |- ( F e. R <-> ( D e. _V /\ F : D -1-1-onto-> D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
4	3	simp1bi 1011	. . 3 |- ( F e. R -> D e. _V )
5	4	adantr 465	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
6		simpr 461	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-onto-> D )
7	1, 2	pmtrff1o 16284	. . . . 5 |- ( F e. R -> F : D -1-1-onto-> D )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D -1-1-onto-> D )
9		f1oco 5836	. . . 4 |- ( ( G : D -1-1-onto-> D /\ F : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
11		f1ocnv 5826	. . . 4 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> D )
12	11	adantl 466	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> `' G : D -1-1-onto-> D )
13		f1oco 5836	. . 3 |- ( ( ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D /\ `' G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
14	10, 12, 13	syl2anc 661	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
15		f1of 5814	. . . . . . 7 |- ( F : D -1-1-onto-> D -> F : D --> D )
16	7, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( F e. R -> F : D --> D )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D --> D )
18		f1omvdconj 16267	. . . . 5 |- ( ( F : D --> D /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
19	17, 6, 18	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
20		f1of1 5813	. . . . . 6 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> G : D -1-1-> D )
21	20	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-> D )
22		difss 3631	. . . . . . . 8 |- ( F \ _I ) C_ F
23		dmss 5200	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
25		fdm 5733	. . . . . . 7 |- ( F : D --> D -> dom F = D )
26	24, 25	syl5sseq 3552	. . . . . 6 |- ( F : D --> D -> dom ( F \ _I ) C_ D )
27	17, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
28	5, 27	ssexd 4594	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) e. _V )
29		f1imaeng 7572	. . . . 5 |- ( ( G : D -1-1-> D /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) e. _V ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
31	19, 30	eqbrtrd 4467	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) )
32	3	simp3bi 1013	. . . 4 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
33	32	adantr 465	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
34		entr 7564	. . 3 |- ( ( dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
35	31, 33, 34	syl2anc 661	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
36	1, 2	pmtrfb 16286	. 2 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R <-> ( D e. _V /\ ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D /\ dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o ) )
37	5, 14, 35, 36	syl3anbrc 1180	1 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   2oc2o 7121   ~~ cen 7510  pmTrspcpmtr 16262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pmtr 16263

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  16314