MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfconj Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pmtrfconj 17100
Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
pmtrrn.r  |-  R  =  ran  T
Assertion
Ref Expression
pmtrfconj  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )

Proof of Theorem pmtrfconj
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5  |-  T  =  (pmTrsp `  D )
2 pmtrrn.r . . . . 5  |-  R  =  ran  T
31, 2pmtrfb 17099 . . . 4  |-  ( F  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  F : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o ) )
43simp1bi 1022 . . 3  |-  ( F  e.  R  ->  D  e.  _V )
54adantr 467 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
6 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-onto-> D )
71, 2pmtrff1o 17097 . . . . 5  |-  ( F  e.  R  ->  F : D -1-1-onto-> D )
87adantr 467 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D -1-1-onto-> D )
9 f1oco 5834 . . . 4  |-  ( ( G : D -1-1-onto-> D  /\  F : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
106, 8, 9syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G  o.  F ) : D -1-1-onto-> D )
11 f1ocnv 5824 . . . 4  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
1211adantl 468 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  `' G : D -1-1-onto-> D )
13 f1oco 5834 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : D -1-1-onto-> D  /\  `' G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D
)
1410, 12, 13syl2anc 666 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) : D -1-1-onto-> D )
15 f1of 5812 . . . . . . 7  |-  ( F : D -1-1-onto-> D  ->  F : D
--> D )
167, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  R  ->  F : D --> D )
1716adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  F : D --> D )
18 f1omvdconj 17080 . . . . 5  |-  ( ( F : D --> D  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
1917, 6, 18syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
20 f1of1 5811 . . . . . 6  |-  ( G : D -1-1-onto-> D  ->  G : D -1-1-> D )
2120adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  G : D -1-1-> D )
22 difss 3559 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  _I  )  C_  F
23 dmss 5033 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F 
\  _I  )  C_  dom  F )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  _I  )  C_  dom  F
25 fdm 5731 . . . . . . 7  |-  ( F : D --> D  ->  dom  F  =  D )
2624, 25syl5sseq 3479 . . . . . 6  |-  ( F : D --> D  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
2717, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  D )
285, 27ssexd 4549 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )
29 f1imaeng 7626 . . . . 5  |-  ( ( G : D -1-1-> D  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  D  /\  dom  ( F  \  _I  )  e.  _V )  ->  ( G " dom  ( F  \  _I  )
)  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
3021, 27, 28, 29syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) 
~~  dom  ( F  \  _I  ) )
3119, 30eqbrtrd 4422 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  dom  ( F 
\  _I  ) )
323simp3bi 1024 . . . 4  |-  ( F  e.  R  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
3332adantr 467 . . 3  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
34 entr 7618 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) 
\  _I  )  ~~  dom  ( F  \  _I  )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
3531, 33, 34syl2anc 666 . 2  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o )
361, 2pmtrfb 17099 . 2  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R  <->  ( D  e.  _V  /\  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  ~~  2o ) )
375, 14, 35, 36syl3anbrc 1191 1  |-  ( ( F  e.  R  /\  G : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   class class class wbr 4401    _I cid 4743   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836    o. ccom 4837   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   2oc2o 7173    ~~ cen 7563  pmTrspcpmtr 17075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-1o 7179  df-2o 7180  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pmtr 17076
This theorem is referenced by:  psgnunilem1  17127
  Copyright terms: Public domain W3C validator