Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmtngnrm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmtngnrm 22272
 Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nrmtngdist.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nrmtngnrm (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))

Proof of Theorem nrmtngnrm
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 22213 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 nrmtngdist.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3nrmtngdist 22271 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
5 eqid 2610 . . . . . 6 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8 eqid 2610 . . . . . 6 ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
95, 6, 7, 3, 8isngp2 22211 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))))
103, 8msmet 22072 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MetSp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
11103ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))) → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
129, 11sylbi 206 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
134, 12eqeltrd 2688 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))
143, 5nmf 22229 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ)
15 eqid 2610 . . . . 5 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
162, 3, 15tngngp2 22266 . . . 4 ((norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
1714, 16syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝐺)))))
181, 13, 17mpbir2and 959 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ NrmGrp)
191, 14jca 553 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ))
20 reex 9906 . . . . 5 ℝ ∈ V
212, 3, 20tngnm 22265 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (norm‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶ℝ) → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
2219, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑇))
2322eqcomd 2616 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺))
2418, 23jca 553 1 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  Basecbs 15695  distcds 15777  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Metcme 19553  MetSpcmt 21933  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192   toNrmGrp ctng 22193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199 This theorem is referenced by:  tngngpim  22273
 Copyright terms: Public domain W3C validator