Theorem nmlno0i 27033

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlno0i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)))
2	1	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0))
3		eqeq1 2614	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑇 = 𝑍 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍))
4	2, 3	bibi12d 334	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)))
5		nmlno0.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		nmlno0.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
7		nmlno0.7	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
8		nmlno0i.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
9		nmlno0i.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	6, 7	0lno 27029	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐿)
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐿
12	11	elimel 4100	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) ∈ 𝐿
13		eqid 2610	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
14		eqid 2610	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
15		eqid 2610	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
16		eqid 2610	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
17		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
18		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
19		eqid 2610	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
20		eqid 2610	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
21	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	nmlno0lem 27032	. 2 ⊢ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)
22	4, 21	dedth 4089	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  0_veccn0v 26827  norm_CVcnmcv 26829   LnOp clno 26979   normOp_OLD cnmoo 26980   0_op c0o 26982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-lno 26983  df-nmoo 26984  df-0o 26986

This theorem is referenced by:  nmlno0  27034  nmlnop0iHIL  28239