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Theorem nmlno0 27034
 Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlno0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0
StepHypRef Expression
1 nmlno0.7 . . . . . 6 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
2 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 LnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊))
31, 2syl5eq 2656 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐿 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊))
43eleq2d 2673 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇𝐿𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊)))
5 nmlno0.3 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
75, 6syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
87fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁𝑇) = ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
98eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0))
10 nmlno0.0 . . . . . . 7 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
11 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 0op 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))
1210, 11syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑍 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))
1312eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 = 𝑍𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)))
149, 13bibi12d 334 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))))
154, 14imbi12d 333 . . 3 (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇𝐿 → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)) ↔ (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)))))
16 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1716eleq2d 2673 . . . 4 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
18 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1918fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇))
2019eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0))
21 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
2221eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊) ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
2320, 22bibi12d 334 . . . 4 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)) ↔ (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
2417, 23imbi12d 333 . . 3 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))) ↔ (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))))
25 eqid 2610 . . . 4 (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26 eqid 2610 . . . 4 (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27 eqid 2610 . . . 4 (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
28 elimnvu 26923 . . . 4 if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
29 elimnvu 26923 . . . 4 if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
3025, 26, 27, 28, 29nmlno0i 27033 . . 3 (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
3115, 24, 30dedth2h 4090 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐿 → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)))
32313impia 1253 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  abscabs 13822  NrmCVeccnv 26823   LnOp clno 26979   normOpOLD cnmoo 26980   0op c0o 26982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-lno 26983  df-nmoo 26984  df-0o 26986 This theorem is referenced by:  nmlnogt0  27036
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