Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblolbi 27039
 Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCV𝑈)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCV𝑊)
nmblolbi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi ((𝑇𝐵𝐴𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇𝐴) = (if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
21fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁𝑇) = (𝑁‘if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
43oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿𝐴)))
52, 4breq12d 4596 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿𝐴))))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑇 = if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))) ↔ (𝐴𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿𝐴)))))
7 nmblolbi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmblolbi.4 . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
9 nmblolbi.5 . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
10 nmblolbi.6 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11 nmblolbi.7 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12 nmblolbi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
1514, 110blo 27031 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
1612, 13, 15mp2an 704 . . . . 5 (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
1716elimel 4100 . . . 4 if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 27038 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿𝐴)))
196, 18dedth 4089 . 2 (𝑇𝐵 → (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))))
2019imp 444 1 ((𝑇𝐵𝐴𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   · cmul 9820   ≤ cle 9954  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  normCVcnmcv 26829   normOpOLD cnmoo 26980   BLnOp cblo 26981   0op c0o 26982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-lno 26983  df-nmoo 26984  df-blo 26985  df-0o 26986 This theorem is referenced by:  isblo3i  27040  blometi  27042  ubthlem3  27112  htthlem  27158
 Copyright terms: Public domain W3C validator