MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Structured version   Unicode version

Theorem nmblolbi 24135
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )

Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 5687 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T `  A )  =  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )
21fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) ) )
3 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( N `  T )  =  ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) ) )
43oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) )  =  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
52, 4breq12d 4302 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  <->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A
) )  <_  (
( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )  <->  ( A  e.  X  ->  ( M `
 ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )  <_ 
( ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) ) )
7 nmblolbi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
9 nmblolbi.5 . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
10 nmblolbi.6 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
11 nmblolbi.7 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
12 nmblolbi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
14 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1514, 110blo 24127 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  B )
1612, 13, 15mp2an 667 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  e.  B
1716elimel 3849 . . . 4  |-  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 24134 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) )  <_  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
196, 18dedth 3838 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `
 A ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  A
) ) ) )
2019imp 429 1  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    x. cmul 9283    <_ cle 9415   NrmCVeccnv 23897   BaseSetcba 23899   normCVcnmcv 23903   normOpOLDcnmoo 24076    BLnOp cblo 24077    0op c0o 24078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-grpo 23613  df-gid 23614  df-ginv 23615  df-ablo 23704  df-vc 23859  df-nv 23905  df-va 23908  df-ba 23909  df-sm 23910  df-0v 23911  df-nmcv 23913  df-lno 24079  df-nmoo 24080  df-blo 24081  df-0o 24082
This theorem is referenced by:  isblo3i  24136  blometi  24138  ubthlem3  24208  htthlem  24254
  Copyright terms: Public domain W3C validator