MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Unicode version

Theorem nmblolbi 22254
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )

Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 5686 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T `  A )  =  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )
21fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) ) )
3 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( N `  T )  =  ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) ) )
43oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) )  =  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
52, 4breq12d 4185 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  <->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A
) )  <_  (
( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )  <->  ( A  e.  X  ->  ( M `
 ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )  <_ 
( ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) ) )
7 nmblolbi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
9 nmblolbi.5 . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
10 nmblolbi.6 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
11 nmblolbi.7 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
12 nmblolbi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
14 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1514, 110blo 22246 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  B )
1612, 13, 15mp2an 654 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  e.  B
1716elimel 3751 . . . 4  |-  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 22253 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) )  <_  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
196, 18dedth 3740 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `
 A ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  A
) ) ) )
2019imp 419 1  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    x. cmul 8951    <_ cle 9077   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   normCVcnmcv 22022   normOp OLDcnmoo 22195    BLnOp cblo 22196    0op c0o 22197
This theorem is referenced by:  isblo3i  22255  blometi  22257  ubthlem3  22327  htthlem  22373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201
  Copyright terms: Public domain W3C validator