Theorem ngpocelbl 22318

Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpocelbl.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngpocelbl.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ngpocelbl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 22291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpocelbl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngpocelbl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 22217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 21949	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	anim1i 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
8	7	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9		simp3l 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 22213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12	11	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp3 1056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14		3anass 1035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylanbrc 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16		ngpocelbl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17	2, 16	grpcl 17253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
19	9, 18	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
20	8, 19	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21		elbl2 22005	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
23	3	oveqi 6562	. . . . . 6 ⊢ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24		ovres 6698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
25	23, 24	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
26	19, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
27	1	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28		ngpocelbl.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
29		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
30		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
31	28, 2, 29, 30	ngpdsr 22219	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
32	27, 9, 18, 31	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
33		nlmlmod 22292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34		lmodabl 18733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36	35	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37		3anass 1035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
38	36, 13, 37	sylanbrc 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
39	2, 16, 29	ablpncan2 18044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
41	40	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)) = (𝑁‘𝐴))
42	26, 32, 41	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
43	42	breq1d 4593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))
44	22, 43	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  distcds 15777  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201

This theorem is referenced by: (None)