Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpaddmpt Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Sum of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpadd 36319. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpaddmpt (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

StepHypRef Expression
1 mzpf 36317 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
2 ffn 5958 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
31, 2syl 17 . . 3 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
4 mzpf 36317 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5 ffn 5958 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
7 ovex 6577 . . . 4 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8 ofmpteq 6814 . . . 4 (((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
97, 8mp3an1 1403 . . 3 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
103, 6, 9syl2an 493 . 2 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
11 mzpadd 36319 . 2 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
1210, 11eqeltrrd 2689 1 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744   + caddc 9818  ℤcz 11254  mzPolycmzp 36303 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305 This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  36324  mzpsubst  36329  mzpcompact2lem  36332  diophin  36354  rmydioph  36599  expdiophlem2  36607
 Copyright terms: Public domain W3C validator