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Theorem ltexprlem7 9720
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem5 9718 . . . . . . 7 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
3 ltaddpr 9712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4 addclpr 9696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5 ltprord 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
64, 5syldan 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
73, 6mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
87pssssd 3665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
98sseld 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
1092a1d 26 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1110com4r 91 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1211expd 450 . . . . . . . 8 (𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13 prnmadd 9675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵P𝑤𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
1413ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (𝑤𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16 addnqf 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +Q :(Q × Q)⟶Q
1716fdmi 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom +Q = (Q × Q)
18 0nnq 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∅ ∈ Q
1917, 18ndmovrcl 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤Q𝑣Q))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q𝑣Q))
2120simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤Q)
22 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑣 ∈ V
2322prlem934 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴P → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴P𝐶P) → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25 prub 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴𝑧 <Q 𝑤))
26 ltexnq 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2726adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2825, 27sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2928ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
3029ad2ant2r 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
32 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑥 ∈ V
33 addcomnq 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34 addassnq 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ))
3531, 22, 32, 33, 34caov32 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
3735, 36syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
3837eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
3938biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
4241notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
4443eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4542, 44anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
4640, 45spcev 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
471abeq2i 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4846, 47sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐶)
4939, 48sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥𝐶)
50 df-plp 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 +P = (𝑥P, 𝑤P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓𝑥𝑣𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51 addclnq 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓Q𝑣Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
5250, 51genpprecl 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴𝑥𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5349, 52sylan2i 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5453exp4d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴P𝐶P) → (𝑧𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
5554imp42 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5756ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5855, 57mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
5958exp32 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6059exlimdv 1847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6130, 60syl6d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6224, 61rexlimddv 3016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6362com14 93 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6521, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6665ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6766exlimdv 1847 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6814, 67syld 45 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑤𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6968com4t 90 . . . . . . . . 9 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7069expd 450 . . . . . . . 8 𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7112, 70pm2.61i 174 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
722, 71syl5 33 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝐵P𝐴𝐵) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7372expd 450 . . . . 5 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7473com34 88 . . . 4 (𝐴P → (𝐵P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7574pm2.43d 50 . . 3 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7675imp31 446 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
7776ssrdv 3573 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {cab 2595  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540   class class class wbr 4577   × cxp 5026  (class class class)co 6527  Qcnq 9530   +Q cplq 9533   <Q cltq 9536  Pcnp 9537   +P cpp 9539  <P cltp 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-plp 9661  df-ltp 9663
This theorem is referenced by:  ltexpri  9721
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