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Theorem ltexprlem7 8875
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables  z  w  v  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8873 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 ltaddpr 8867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  <P  ( A  +P.  C ) )
4 addclpr 8851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  +P.  C
)  e.  P. )
5 ltprord 8863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( A  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
64, 5syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
73, 6mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C.  ( A  +P.  C ) )
87pssssd 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C_  ( A  +P.  C ) )
98sseld 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
109a1d 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
1110a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1211com4r 82 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1312exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
14 prnmadd 8830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  P.  /\  w  e.  B )  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B )
1514ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B
) )
16 elprnq 8824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  v )  e.  Q. )
17 addnqf 8781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
1817fdmi 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
19 0nnq 8757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (/)  e.  Q.
2018, 19ndmovrcl 6192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  Q.  ->  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  w  e.  Q. )
23 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
2423prlem934 8866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  P.  ->  E. z  e.  A  -.  (
z  +Q  v )  e.  A )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  E. z  e.  A  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A )
26 prub 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  z  <Q  w ) )
27 ltexnq 8808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  w 
<->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) )
2926, 28sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
3029ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) ) )
3130ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) ) )
32 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  z  e. 
_V
33 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  x  e. 
_V
34 addcomnq 8784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f
)
35 addassnq 8791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
3632, 23, 33, 34, 35caov32 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  x )  +Q  v
)
37 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  +Q  v )  =  ( w  +Q  v ) )
3836, 37syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  v
)  +Q  x )  =  ( w  +Q  v ) )
3938eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B  <->  ( w  +Q  v )  e.  B
) )
4039biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B
)
41 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  +Q  v )  e. 
_V
42 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  e.  A  <->  ( z  +Q  v )  e.  A
) )
4342notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )
44 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  v )  +Q  x ) )
4544eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( (
z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B ) )
4643, 45anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B ) ) )
4741, 46spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
481abeq2i 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
4947, 48sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  C
)
5040, 49sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) )  ->  x  e.  C )
51 df-plp 8816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  +P.  =  ( x  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { z  |  E. f  e.  x  E. v  e.  w  z  =  ( f  +Q  v ) } )
52 addclnq 8778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  v
)  e.  Q. )
5351, 52genpprecl 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5450, 53sylan2i 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) ) )  -> 
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5554exp4d 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( (
( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
5655imp42 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) )
57 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C )  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5857ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C
)  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5956, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) )
6059exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
( z  +Q  x
)  =  w  -> 
( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6160exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  ( E. x ( z  +Q  x )  =  w  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6231, 61syl6d 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6325, 62rexlimddv 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( (
w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6463com14 84 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6622, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6766ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( w  +Q  v
)  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6867exlimdv 1643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. v ( w  +Q  v )  e.  B  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6915, 68syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7069com4t 81 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7170exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7213, 71pm2.61i 158 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
732, 72syl5 30 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  ( B  e. 
P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7473exp3a 426 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7574com34 79 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7675pm2.43d 46 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7776imp31 422 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
7877ssrdv 3314 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667    C_ wss 3280    C. wpss 3281   class class class wbr 4172    X. cxp 4835  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683    +Q cplq 8686    <Q cltq 8689   P.cnp 8690    +P. cpp 8692    <P cltp 8694
This theorem is referenced by:  ltexpri  8876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-plp 8816  df-ltp 8818
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