Theorem ltexprlem7 6300

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	|- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> B C_ (A +P. C))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpr 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> A <P (A +P. C))
2		addclpr 6272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (A +P. C) e. P.)
3		ltprord 6286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ (A +P. C) e. P.) -> (A <P (A +P. C) <-> A C. (A +P. C)))
4	2, 3	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (A <P (A +P. C) <-> A C. (A +P. C)))
5	1, 4	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> A C. (A +P. C))
6	5	pssssd 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> A C_ (A +P. C))
7	6	sseld 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (w e. A -> w e. (A +P. C)))
8	7	a1d 15	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (w e. B -> (w e. A -> w e. (A +P. C))))
9	8	a1d 15	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (B e. P. -> (w e. B -> (w e. A -> w e. (A +P. C)))))
10	9	com4r 45	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> ((A e. P. /\ C e. P.) -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))))
11	10	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- (w e. A -> (A e. P. -> (C e. P. -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C))))))
12		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
13	12	prnmadd 6252	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. P. /\ w e. B) -> E.v(w +Q v) e. B)
14		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B e. P. /\ (w +Q v) e. B) -> (w +Q v) e. Q.)
15		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- v e. _V
16		dmaddpq 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
17		0npq 6202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. (/) e. Q.
18	15, 16, 17	ndmoprrcl 4979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w +Q v) e. Q. -> (w e. Q. /\ v e. Q.))
19	14, 18	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B e. P. /\ (w +Q v) e. B) -> (w e. Q. /\ v e. Q.))
20		prlem934 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. P. /\ v e. Q.) -> E.z(z e. A /\ -. (z +Q v) e. A))
21		prub 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ w e. Q.) -> (-. w e. A -> z <Q w))
22		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- z e. _V
23	22	ltexpq 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((z e. Q. /\ w e. Q.) -> (z <Q w <-> E.x(z +Q x) = w))
24		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> z e. Q.)
25	23, 24	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ w e. Q.) -> (z <Q w <-> E.x(z +Q x) = w))
26	21, 25	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ w e. Q.) -> (-. w e. A -> E.x(z +Q x) = w))
27	26	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> E.x(z +Q x) = w)))
28	27	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> E.x(z +Q x) = w)))
29		df-plp 6240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- +P. = {<.<.z, v>., u>. | ((z e. P. /\ v e. P.) /\ u = {f | E.g e. z E.h e. v f = (g +Q h)})}
30	29	genpprecl 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> ((z e. A /\ x e. C) -> (z +Q x) e. (A +P. C)))
31		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (z +Q v) e. _V
32		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (y = (z +Q v) -> (y e. A <-> (z +Q v) e. A))
33	32	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (y = (z +Q v) -> (-. y e. A <-> -. (z +Q v) e. A))
34		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (y = (z +Q v) -> (y +Q x) = ((z +Q v) +Q x))
35	34	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (y = (z +Q v) -> ((y +Q x) e. B <-> ((z +Q v) +Q x) e. B))
36	33, 35	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (y = (z +Q v) -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> (-. (z +Q v) e. A /\ ((z +Q v) +Q x) e. B)))
37	31, 36	cla4ev 2371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((-. (z +Q v) e. A /\ ((z +Q v) +Q x) e. B) -> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
38		ltexprlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
39	38	abeq2i 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
40	37, 39	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((-. (z +Q v) e. A /\ ((z +Q v) +Q x) e. B) -> x e. C)
41		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((z +Q x) = w -> ((z +Q x) +Q v) = (w +Q v))
42		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- x e. _V
43		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- f e. _V
44		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- g e. _V
45	43, 44	addcompq 6214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (f +Q g) = (g +Q f)
46		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- h e. _V
47	44, 46	addasspq 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((f +Q g) +Q h) = (f +Q (g +Q h))
48	22, 15, 42, 45, 47	caopr32 4993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((z +Q v) +Q x) = ((z +Q x) +Q v)
49	41, 48	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((z +Q x) = w -> ((z +Q v) +Q x) = (w +Q v))
50	49	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((z +Q x) = w -> (((z +Q v) +Q x) e. B <-> (w +Q v) e. B))
51	50	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B) -> ((z +Q v) +Q x) e. B)
52	40, 51	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ((-. (z +Q v) e. A /\ ((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B)) -> x e. C)
53	30, 52	sylan2i 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> ((z e. A /\ (-. (z +Q v) e. A /\ ((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B))) -> (z +Q x) e. (A +P. C)))
54	53	exp4d 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (z e. A -> (-. (z +Q v) e. A -> (((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B) -> (z +Q x) e. (A +P. C)))))
55	54	imp42 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) /\ ((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B)) -> (z +Q x) e. (A +P. C))
56		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((z +Q x) = w -> ((z +Q x) e. (A +P. C) <-> w e. (A +P. C)))
57	56	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) /\ ((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B)) -> ((z +Q x) e. (A +P. C) <-> w e. (A +P. C)))
58	55, 57	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) /\ ((z +Q x) = w /\ (w +Q v) e. B)) -> w e. (A +P. C))
59	58	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) -> ((z +Q x) = w -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C))))
60	59	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) -> (E.x(z +Q x) = w -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C))))
61	28, 60	syl6d 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((A e. P. /\ C e. P.) /\ (z e. A /\ -. (z +Q v) e. A)) -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))
62	61	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (A e. P. -> (C e. P. -> ((z e. A /\ -. (z +Q v) e. A) -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
63	62	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A e. P. -> ((z e. A /\ -. (z +Q v) e. A) -> (C e. P. -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
64	63	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A e. P. -> (E.z(z e. A /\ -. (z +Q v) e. A) -> (C e. P. -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
65	64	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. P. /\ v e. Q.) -> (E.z(z e. A /\ -. (z +Q v) e. A) -> (C e. P. -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
66	20, 65	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. P. /\ v e. Q.) -> (C e. P. -> (w e. Q. -> (-. w e. A -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C))))))
67	66	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. P. /\ v e. Q.) -> (-. w e. A -> (w e. Q. -> (C e. P. -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C))))))
68	67	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A e. P. -> (v e. Q. -> (-. w e. A -> (w e. Q. -> (C e. P. -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
69	68	com14 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. Q. -> (v e. Q. -> (-. w e. A -> (A e. P. -> (C e. P. -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))))
70	69	imp4b 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> ((w +Q v) e. B -> w e. (A +P. C)))))
71	70	com4r 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((w +Q v) e. B -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
72	71	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((w +Q v) e. B -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
73	72	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((B e. P. /\ (w +Q v) e. B) -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
74	19, 73	mpcom 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. P. /\ (w +Q v) e. B) -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C))))
75	74	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. P. -> ((w +Q v) e. B -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
76	75	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. P. -> (E.v(w +Q v) e. B -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
77	76	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. P. /\ w e. B) -> (E.v(w +Q v) e. B -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
78	13, 77	mpd 29	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. P. /\ w e. B) -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C))))
79	78	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> (w e. B -> ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> w e. (A +P. C)))))
80	79	com4t 44	. . . . . . . . 9 |- ((-. w e. A /\ A e. P.) -> (C e. P. -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))))
81	80	ex 402	. . . . . . . 8 |- (-. w e. A -> (A e. P. -> (C e. P. -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C))))))
82	11, 81	pm2.61i 140	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (C e. P. -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))))
83	38	ltexprlem5 6298	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ A C. B) -> C e. P.)
84	82, 83	syl5 20	. . . . . 6 |- (A e. P. -> ((B e. P. /\ A C. B) -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))))
85	84	exp3a 405	. . . . 5 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (A C. B -> (B e. P. -> (w e. B -> w e. (A +P. C))))))
86	85	com34 40	. . . 4 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (B e. P. -> (A C. B -> (w e. B -> w e. (A +P. C))))))
87	86	pm2.43d 79	. . 3 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (A C. B -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))))
88	87	imp31 389	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> (w e. B -> w e. (A +P. C)))
89	88	ssrdv 2622	1 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> B C_ (A +P. C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   <Q cltq 6136  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   <P cltp 6141

This theorem is referenced by:  ltexpri 6301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-ltp 6242

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