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Theorem ltexprlem7 9432
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables  z  w  v  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 9430 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 ltaddpr 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  <P  ( A  +P.  C ) )
4 addclpr 9408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  +P.  C
)  e.  P. )
5 ltprord 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( A  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
64, 5syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
73, 6mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C.  ( A  +P.  C ) )
87pssssd 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C_  ( A  +P.  C ) )
98sseld 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
109a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
1110a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1211com4r 86 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1312expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
14 prnmadd 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  P.  /\  w  e.  B )  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B )
1514ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B
) )
16 elprnq 9381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  v )  e.  Q. )
17 addnqf 9338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
1817fdmi 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
19 0nnq 9314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (/)  e.  Q.
2018, 19ndmovrcl 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  Q.  ->  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  w  e.  Q. )
23 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
2423prlem934 9423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  P.  ->  E. z  e.  A  -.  (
z  +Q  v )  e.  A )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  E. z  e.  A  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A )
26 prub 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  z  <Q  w ) )
27 ltexnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  w 
<->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) )
2926, 28sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) ) )
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) ) )
32 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  z  e. 
_V
33 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  x  e. 
_V
34 addcomnq 9341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f
)
35 addassnq 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
3632, 23, 33, 34, 35caov32 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  x )  +Q  v
)
37 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  +Q  v )  =  ( w  +Q  v ) )
3836, 37syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  v
)  +Q  x )  =  ( w  +Q  v ) )
3938eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B  <->  ( w  +Q  v )  e.  B
) )
4039biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B
)
41 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  +Q  v )  e. 
_V
42 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  e.  A  <->  ( z  +Q  v )  e.  A
) )
4342notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )
44 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  v )  +Q  x ) )
4544eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( (
z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B ) ) )
4741, 46spcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
481abeq2i 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
4947, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  C
)
5040, 49sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) )  ->  x  e.  C )
51 df-plp 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  +P.  =  ( x  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { z  |  E. f  e.  x  E. v  e.  w  z  =  ( f  +Q  v ) } )
52 addclnq 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  v
)  e.  Q. )
5351, 52genpprecl 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5450, 53sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) ) )  -> 
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5554exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( (
( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
5655imp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) )
57 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C )  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C
)  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5956, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) )
6059exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
( z  +Q  x
)  =  w  -> 
( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6160exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  ( E. x ( z  +Q  x )  =  w  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6231, 61syl6d 69 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6325, 62rexlimddv 2963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( (
w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6463com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6622, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( w  +Q  v
)  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6867exlimdv 1700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. v ( w  +Q  v )  e.  B  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6915, 68syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7069com4t 85 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7170expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7213, 71pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
732, 72syl5 32 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7473expd 436 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7574com34 83 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7675pm2.43d 48 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7776imp31 432 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
7877ssrdv 3515 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818    C_ wss 3481    C. wpss 3482   class class class wbr 4453    X. cxp 5003  (class class class)co 6295   Q.cnq 9242    +Q cplq 9245    <Q cltq 9248   P.cnp 9249    +P. cpp 9251    <P cltp 9253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ni 9262  df-pli 9263  df-mi 9264  df-lti 9265  df-plpq 9298  df-mpq 9299  df-ltpq 9300  df-enq 9301  df-nq 9302  df-erq 9303  df-plq 9304  df-mq 9305  df-1nq 9306  df-rq 9307  df-ltnq 9308  df-np 9371  df-plp 9373  df-ltp 9375
This theorem is referenced by:  ltexpri  9433
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