MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomnq 9652
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomnq (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq
StepHypRef Expression
1 addcompq 9651 . . . 4 (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
21fveq2i 6106 . . 3 ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3 addpqnq 9639 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4 addpqnq 9639 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
54ancoms 468 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2670 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7 addnqf 9649 . . . 4 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 5965 . . 3 dom +Q = (Q × Q)
98ndmovcom 6719 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 175 1 (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549   +pQ cplpq 9549  Qcnq 9553  [Q]cerq 9555   +Q cplq 9556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-1nq 9617
This theorem is referenced by:  ltaddnq  9675  addclprlem2  9718  addclpr  9719  addcompr  9722  distrlem4pr  9727  prlem934  9734  ltexprlem2  9738  ltexprlem6  9742  ltexprlem7  9743  prlem936  9748
  Copyright terms: Public domain W3C validator