Theorem lmdvg 29327

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		nnuz 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5		rge0ssre 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		fss 5969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
12		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1))
13	12	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
14	11, 13	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
15	14	cbvralv 3147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
16	10, 15	sylib 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18	17	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
19		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
20		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
22	21	cbvralv 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
23	22	rexbii 3023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
24	19, 23	sylib 207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
25	2, 3, 8, 18, 24	climsup 14248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
26		nnex 10903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
27		fex 6394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
28	4, 26, 27	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
30		ltso 9997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
31	30	supex 8252	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
33		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
34		breldmg 5252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
35	29, 32, 33, 34	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
36	25, 35	syldan 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
37	1, 36	mtand 689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38		ralnex 2975	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	37, 38	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
40		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
42	41	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
43	40, 42	ltnled 10063	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
44	43	rexbidva 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
45		rexnal 2978	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
46	44, 45	syl6bb 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	46	ralbidva 2968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
48	39, 47	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
49	48	r19.21bi 2916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
50	40	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	42	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
52	41	ad3antrrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53		uznnssnn 11611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
54	53	ad3antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
55		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
56	54, 55	sseldd 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
57	52, 56	ffvelrnd 6268	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
58		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
59		simp-4l 802	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
60		simpllr 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
61		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
62	7	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
63		fzssnn 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64	63	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
65		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
66	64, 65	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
67	62, 66	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ)
68		simplll 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
69		fzssnn 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70	69	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
71		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
72	70, 71	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
73	68, 72, 17	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
74	61, 67, 73	monoord 12693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
75	59, 60, 55, 74	syl21anc 1317	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
76	50, 51, 57, 58, 75	ltletrd 10076	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑘))
77	76	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
78	77	ex 449	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
79	78	reximdva 3000	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
80	49, 79	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
81	80	ralrimiva 2949	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563  [,)cico 12048  ...cfz 12197   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067

This theorem is referenced by:  lmdvglim  29328  esumcvg  29475