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Theorem lmdvg 27557
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
lmdvg.3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
lmdvg  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
2 nnuz 11106 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 1z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  1  e.  ZZ )
5 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6 rge0ssre 11617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
7 fss 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : NN --> RR )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F : NN
--> RR )
10 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
1110ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
12 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  k )  =  ( F `  l ) )
13 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
k  +  1 )  =  ( l  +  1 ) )
1413fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1512, 14breq12d 4453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
1615cbvralv 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) )  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1711, 16sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1817r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
1918adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
21 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( F `  j )  =  ( F `  l ) )
2221breq1d 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
( F `  j
)  <_  x  <->  ( F `  l )  <_  x
) )
2322cbvralv 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2423rexbii 2958 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2520, 24sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x
)
262, 4, 9, 19, 25climsup 13441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
27 nnex 10531 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
28 fex 6124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
295, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  _V )
31 ltso 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3231supex 7912 . . . . . . . . . 10  |-  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V )
34 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
35 breldmg 5199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
_V  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3630, 33, 34, 35syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3726, 36syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  e.  dom 
~~>  )
381, 37mtand 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
39 ralnex 2903 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4038, 39sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x )
41 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
428adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
4342ffvelrnda 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4441, 43ltnled 9720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  <->  -.  ( F `  j )  <_  x ) )
4544rexbidva 2963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  E. j  e.  NN  -.  ( F `  j
)  <_  x )
)
46 rexnal 2905 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  -.  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4745, 46syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
) )
4847ralbidva 2893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )  <->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x ) )
4940, 48mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
) )
5049r19.21bi 2826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )
)
5141ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  e.  RR )
5243ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5342ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR )
54 uznnssnn 11117 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  NN )
5554ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  j )  C_  NN )
56 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
5755, 56sseldd 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
5853, 57ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
59 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  j ) )
60 simp-4l 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
61 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
638ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  F : NN
--> RR )
64 fzssnn 27249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... k )  C_  NN )
6564ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( j ... k )  C_  NN )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  ( j ... k
) )
6765, 66sseldd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  NN )
6863, 67ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
69 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ph )
70 fzssnn 27249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... ( k  - 
1 ) )  C_  NN )
7170ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( j ... ( k  -  1 ) )  C_  NN )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  ( j ... (
k  -  1 ) ) )
7371, 72sseldd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  NN )
7469, 73, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
7562, 68, 74monoord 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7660, 61, 56, 75syl21anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7751, 52, 58, 59, 76ltletrd 9730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  k ) )
7877ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
7978ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8079reximdva 2931 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8150, 80mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
8281ralrimiva 2871 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   +oocpnf 9614    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   [,)cico 11520   ...cfz 11661    ~~> cli 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260
This theorem is referenced by:  lmdvglim  27558  esumcvg  27718
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