Theorem lmdvg 26521

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
lmdvg.3	|- ( ph -> -. F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. F e. dom ~~> )
2		nnuz 11000	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1z 10780	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> 1 e. ZZ )
5		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6		rge0ssre 11503	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
7		fss 5668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : NN --> RR )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR )
9	8	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F : NN --> RR )
10		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
11	10	ralrimiva 2825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
12		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` k ) = ( F ` l ) )
13		oveq1 6200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( k + 1 ) = ( l + 1 ) )
14	13	fveq2d 5796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( l + 1 ) ) )
15	12, 14	breq12d 4406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) ) )
16	15	cbvralv 3046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
17	11, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
18	17	r19.21bi 2913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
21		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = l -> ( F ` j ) = ( F ` l ) )
22	21	breq1d 4403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ x ) )
23	22	cbvralv 3046	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
24	23	rexbii 2859	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
25	20, 24	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
26	2, 4, 9, 19, 25	climsup 13258	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
27		nnex 10432	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
28		fex 6052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
29	5, 27, 28	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. _V )
31		ltso 9559	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
32	31	supex 7817	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ran F , RR , < ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. _V )
34		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
35		breldmg 5146	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. _V /\ sup ( ran F , RR , < ) e. _V /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
36	30, 33, 34, 35	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
37	26, 36	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F e. dom ~~> )
38	1, 37	mtand 659	. . . . . 6 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
39		ralnex 2846	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
41		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
42	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : NN --> RR )
43	42	ffvelrnda 5945	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
44	41, 43	ltnled 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
45	44	rexbidva 2852	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x ) )
46		rexnal 2847	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
47	45, 46	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
48	47	ralbidva 2839	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
49	40, 48	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) )
50	49	r19.21bi 2913	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN x < ( F ` j ) )
51	41	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
52	43	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	42	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR )
54		uznnssnn 11006	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
55	54	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
56		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
57	55, 56	sseldd 3458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
58	53, 57	ffvelrnd 5946	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
59		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
60		simp-4l 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
61		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
62		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
63	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> F : NN --> RR )
64		fzssnn 26212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... k ) C_ NN )
65	64	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( j ... k ) C_ NN )
66		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. ( j ... k ) )
67	65, 66	sseldd 3458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. NN )
68	63, 67	ffvelrnd 5946	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( F ` l ) e. RR )
69		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
70		fzssnn 26212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
71	70	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
72		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. ( j ... ( k - 1 ) ) )
73	71, 72	sseldd 3458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. NN )
74	69, 73, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
75	62, 68, 74	monoord 11946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
76	60, 61, 56, 75	syl21anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
77	51, 52, 58, 59, 76	ltletrd 9635	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` k ) )
78	77	ralrimiva 2825	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
79	78	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
80	79	reximdva 2927	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
81	50, 80	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
82	81	ralrimiva 2825	1 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   ran crn 4942   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supcsup 7794   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   +oocpnf 9519   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   [,)cico 11406   ...cfz 11547   ~~> cli 13073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-ico 11410  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077

This theorem is referenced by:  lmdvglim  26522  esumcvg  26673