Theorem lmdvg 27912

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
lmdvg.3	|- ( ph -> -. F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. F e. dom ~~> )
2		nnuz 11126	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 10902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> 1 e. ZZ )
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5		rge0ssre 11638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
6		fss 5729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : NN --> RR )
7	4, 5, 6	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8	7	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F : NN --> RR )
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
10	9	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
11		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` k ) = ( F ` l ) )
12		oveq1 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( k + 1 ) = ( l + 1 ) )
13	12	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( l + 1 ) ) )
14	11, 13	breq12d 4450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) ) )
15	14	cbvralv 3070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
16	10, 15	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
17	16	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
18	17	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
19		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
20		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = l -> ( F ` j ) = ( F ` l ) )
21	20	breq1d 4447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ x ) )
22	21	cbvralv 3070	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
23	22	rexbii 2945	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
24	19, 23	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
25	2, 3, 8, 18, 24	climsup 13473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
26		nnex 10549	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
27		fex 6130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
28	4, 26, 27	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. _V )
30		ltso 9668	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
31	30	supex 7925	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ran F , RR , < ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. _V )
33		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
34		breldmg 5198	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. _V /\ sup ( ran F , RR , < ) e. _V /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
35	29, 32, 33, 34	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
36	25, 35	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F e. dom ~~> )
37	1, 36	mtand 659	. . . . . 6 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
38		ralnex 2889	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
39	37, 38	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
40		simplr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
41	7	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : NN --> RR )
42	41	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
43	40, 42	ltnled 9735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
44	43	rexbidva 2951	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x ) )
45		rexnal 2891	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
46	44, 45	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
47	46	ralbidva 2879	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
48	39, 47	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) )
49	48	r19.21bi 2812	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN x < ( F ` j ) )
50	40	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
51	42	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
52	41	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR )
53		uznnssnn 11138	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
54	53	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
55		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
56	54, 55	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
57	52, 56	ffvelrnd 6017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
59		simp-4l 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
60		simpllr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
61		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
62	7	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> F : NN --> RR )
63		fzssnn 27571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... k ) C_ NN )
64	63	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( j ... k ) C_ NN )
65		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. ( j ... k ) )
66	64, 65	sseldd 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. NN )
67	62, 66	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( F ` l ) e. RR )
68		simplll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
69		fzssnn 27571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
70	69	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
71		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. ( j ... ( k - 1 ) ) )
72	70, 71	sseldd 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. NN )
73	68, 72, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
74	61, 67, 73	monoord 12118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
75	59, 60, 55, 74	syl21anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
76	50, 51, 57, 58, 75	ltletrd 9745	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` k ) )
77	76	ralrimiva 2857	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
78	77	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
79	78	reximdva 2918	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
80	49, 79	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
81	80	ralrimiva 2857	1 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   +oocpnf 9628   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   NNcn 10543   ZZ>=cuz 11091   [,)cico 11541   ...cfz 11682   ~~> cli 13288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-ico 11545  df-fz 11683  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292

This theorem is referenced by:  lmdvglim  27913  esumcvg  28069