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Theorem lmdvg 26521
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
lmdvg.3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
lmdvg  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
2 nnuz 11000 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 1z 10780 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  1  e.  ZZ )
5 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6 rge0ssre 11503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
7 fss 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : NN --> RR )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F : NN
--> RR )
10 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
1110ralrimiva 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
12 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  k )  =  ( F `  l ) )
13 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
k  +  1 )  =  ( l  +  1 ) )
1413fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1512, 14breq12d 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
1615cbvralv 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) )  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1711, 16sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1817r19.21bi 2913 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
1918adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
21 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( F `  j )  =  ( F `  l ) )
2221breq1d 4403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
( F `  j
)  <_  x  <->  ( F `  l )  <_  x
) )
2322cbvralv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2423rexbii 2859 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2520, 24sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x
)
262, 4, 9, 19, 25climsup 13258 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
27 nnex 10432 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
28 fex 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
295, 27, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  _V )
31 ltso 9559 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3231supex 7817 . . . . . . . . . 10  |-  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V )
34 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
35 breldmg 5146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
_V  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3630, 33, 34, 35syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3726, 36syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  e.  dom 
~~>  )
381, 37mtand 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
39 ralnex 2846 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4038, 39sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x )
41 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
428adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
4342ffvelrnda 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4441, 43ltnled 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  <->  -.  ( F `  j )  <_  x ) )
4544rexbidva 2852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  E. j  e.  NN  -.  ( F `  j
)  <_  x )
)
46 rexnal 2847 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  -.  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4745, 46syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
) )
4847ralbidva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )  <->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x ) )
4940, 48mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
) )
5049r19.21bi 2913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )
)
5141ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  e.  RR )
5243ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5342ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR )
54 uznnssnn 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  NN )
5554ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  j )  C_  NN )
56 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
5755, 56sseldd 3458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
5853, 57ffvelrnd 5946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
59 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  j ) )
60 simp-4l 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
61 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
638ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  F : NN
--> RR )
64 fzssnn 26212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... k )  C_  NN )
6564ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( j ... k )  C_  NN )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  ( j ... k
) )
6765, 66sseldd 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  NN )
6863, 67ffvelrnd 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
69 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ph )
70 fzssnn 26212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... ( k  - 
1 ) )  C_  NN )
7170ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( j ... ( k  -  1 ) )  C_  NN )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  ( j ... (
k  -  1 ) ) )
7371, 72sseldd 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  NN )
7469, 73, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
7562, 68, 74monoord 11946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7660, 61, 56, 75syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7751, 52, 58, 59, 76ltletrd 9635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  k ) )
7877ralrimiva 2825 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
7978ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8079reximdva 2927 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8150, 80mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
8281ralrimiva 2825 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   ran crn 4942   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supcsup 7794   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389   +oocpnf 9519    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   [,)cico 11406   ...cfz 11547    ~~> cli 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-ico 11410  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077
This theorem is referenced by:  lmdvglim  26522  esumcvg  26673
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