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Mathbox for Thierry Arnoux |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lmdvg | Structured version Unicode version |
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.) |
Ref | Expression |
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lmdvg.1 |
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lmdvg.2 |
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lmdvg.3 |
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Ref | Expression |
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lmdvg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | lmdvg.3 |
. . . . . . 7
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2 | nnuz 11000 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1z 10780 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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5 | lmdvg.1 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | rge0ssre 11503 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | fss 5668 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 5, 6, 7 | sylancl 662 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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10 | lmdvg.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 10 | ralrimiva 2825 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | oveq1 6200 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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14 | 13 | fveq2d 5796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 12, 14 | breq12d 4406 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 15 | cbvralv 3046 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 11, 16 | sylib 196 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | r19.21bi 2913 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
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20 | simpr 461 |
. . . . . . . . . 10
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21 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | breq1d 4403 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | cbvralv 3046 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | rexbii 2859 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 20, 24 | sylib 196 |
. . . . . . . . 9
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26 | 2, 4, 9, 19, 25 | climsup 13258 |
. . . . . . . 8
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27 | nnex 10432 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | fex 6052 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 5, 27, 28 | sylancl 662 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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31 | ltso 9559 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | supex 7817 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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34 | simpr 461 |
. . . . . . . . 9
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35 | breldmg 5146 |
. . . . . . . . 9
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36 | 30, 33, 34, 35 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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37 | 26, 36 | syldan 470 |
. . . . . . 7
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38 | 1, 37 | mtand 659 |
. . . . . 6
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39 | ralnex 2846 |
. . . . . 6
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40 | 38, 39 | sylibr 212 |
. . . . 5
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41 | simplr 754 |
. . . . . . . . 9
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42 | 8 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | ffvelrnda 5945 |
. . . . . . . . 9
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44 | 41, 43 | ltnled 9625 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | rexbidva 2852 |
. . . . . . 7
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46 | rexnal 2847 |
. . . . . . 7
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47 | 45, 46 | syl6bb 261 |
. . . . . 6
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48 | 47 | ralbidva 2839 |
. . . . 5
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49 | 40, 48 | mpbird 232 |
. . . 4
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50 | 49 | r19.21bi 2913 |
. . 3
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51 | 41 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
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52 | 43 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
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53 | 42 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
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54 | uznnssnn 11006 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 54 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . 9
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56 | simpr 461 |
. . . . . . . . 9
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57 | 55, 56 | sseldd 3458 |
. . . . . . . 8
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58 | 53, 57 | ffvelrnd 5946 |
. . . . . . 7
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59 | simplr 754 |
. . . . . . 7
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60 | simp-4l 765 |
. . . . . . . 8
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61 | simpllr 758 |
. . . . . . . 8
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62 | simpr 461 |
. . . . . . . . 9
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63 | 8 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . 10
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64 | fzssnn 26212 |
. . . . . . . . . . . 12
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65 | 64 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . 11
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66 | simpr 461 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | 65, 66 | sseldd 3458 |
. . . . . . . . . 10
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68 | 63, 67 | ffvelrnd 5946 |
. . . . . . . . 9
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69 | simplll 757 |
. . . . . . . . . 10
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70 | fzssnn 26212 |
. . . . . . . . . . . 12
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71 | 70 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . 11
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72 | simpr 461 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 71, 72 | sseldd 3458 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 69, 73, 18 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . 9
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75 | 62, 68, 74 | monoord 11946 |
. . . . . . . 8
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76 | 60, 61, 56, 75 | syl21anc 1218 |
. . . . . . 7
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77 | 51, 52, 58, 59, 76 | ltletrd 9635 |
. . . . . 6
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78 | 77 | ralrimiva 2825 |
. . . . 5
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79 | 78 | ex 434 |
. . . 4
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80 | 79 | reximdva 2927 |
. . 3
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81 | 50, 80 | mpd 15 |
. 2
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82 | 81 | ralrimiva 2825 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4504 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-mulcom 9450 ax-addass 9451 ax-mulass 9452 ax-distr 9453 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-1rid 9456 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461 ax-pre-ltadd 9462 ax-pre-mulgt0 9463 ax-pre-sup 9464 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-pss 3445 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-tp 3983 df-op 3985 df-uni 4193 df-iun 4274 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-tr 4487 df-eprel 4733 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-fr 4780 df-we 4782 df-ord 4823 df-on 4824 df-lim 4825 df-suc 4826 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-riota 6154 df-ov 6196 df-oprab 6197 df-mpt2 6198 df-om 6580 df-1st 6680 df-2nd 6681 df-recs 6935 df-rdg 6969 df-er 7204 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-sup 7795 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527 df-le 9528 df-sub 9701 df-neg 9702 df-div 10098 df-nn 10427 df-2 10484 df-3 10485 df-n0 10684 df-z 10751 df-uz 10966 df-rp 11096 df-ico 11410 df-fz 11548 df-seq 11917 df-exp 11976 df-cj 12699 df-re 12700 df-im 12701 df-sqr 12835 df-abs 12836 df-clim 13077 |
This theorem is referenced by: lmdvglim 26522 esumcvg 26673 |
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