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Theorem lmdvg 27912
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
lmdvg.3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
lmdvg  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
2 nnuz 11126 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 1zzd 10902 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  1  e.  ZZ )
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5 rge0ssre 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
6 fss 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : NN --> RR )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
87adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F : NN
--> RR )
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
109ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
11 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  k )  =  ( F `  l ) )
12 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
k  +  1 )  =  ( l  +  1 ) )
1312fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
1514cbvralv 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) )  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1610, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1716r19.21bi 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
20 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( F `  j )  =  ( F `  l ) )
2120breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
( F `  j
)  <_  x  <->  ( F `  l )  <_  x
) )
2221cbvralv 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2322rexbii 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2419, 23sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x
)
252, 3, 8, 18, 24climsup 13473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
26 nnex 10549 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
27 fex 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
284, 26, 27sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  _V )
30 ltso 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3130supex 7925 . . . . . . . . . 10  |-  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V )
33 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
34 breldmg 5198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
_V  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3529, 32, 33, 34syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3625, 35syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  e.  dom 
~~>  )
371, 36mtand 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
38 ralnex 2889 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
3937, 38sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x )
40 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
417adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
4241ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4340, 42ltnled 9735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  <->  -.  ( F `  j )  <_  x ) )
4443rexbidva 2951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  E. j  e.  NN  -.  ( F `  j
)  <_  x )
)
45 rexnal 2891 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  -.  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4644, 45syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
) )
4746ralbidva 2879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )  <->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x ) )
4839, 47mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
) )
4948r19.21bi 2812 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )
)
5040ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  e.  RR )
5142ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5241ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR )
53 uznnssnn 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  NN )
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  j )  C_  NN )
55 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
5654, 55sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
5752, 56ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
58 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  j ) )
59 simp-4l 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
60 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
61 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
627ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  F : NN
--> RR )
63 fzssnn 27571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... k )  C_  NN )
6463ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( j ... k )  C_  NN )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  ( j ... k
) )
6664, 65sseldd 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  NN )
6762, 66ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
68 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ph )
69 fzssnn 27571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... ( k  - 
1 ) )  C_  NN )
7069ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( j ... ( k  -  1 ) )  C_  NN )
71 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  ( j ... (
k  -  1 ) ) )
7270, 71sseldd 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  NN )
7368, 72, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
7461, 67, 73monoord 12118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7559, 60, 55, 74syl21anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7650, 51, 57, 58, 75ltletrd 9745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  k ) )
7776ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
7877ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
7978reximdva 2918 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8049, 79mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
8180ralrimiva 2857 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10543   ZZ>=cuz 11091   [,)cico 11541   ...cfz 11682    ~~> cli 13288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-ico 11545  df-fz 11683  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292
This theorem is referenced by:  lmdvglim  27913  esumcvg  28069
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