Theorem lmdvg 27557

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
lmdvg.3	|- ( ph -> -. F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. F e. dom ~~> )
2		nnuz 11106	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1z 10883	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> 1 e. ZZ )
5		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6		rge0ssre 11617	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
7		fss 5730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : NN --> RR )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR )
9	8	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F : NN --> RR )
10		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
11	10	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
12		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` k ) = ( F ` l ) )
13		oveq1 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( k + 1 ) = ( l + 1 ) )
14	13	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( l + 1 ) ) )
15	12, 14	breq12d 4453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) ) )
16	15	cbvralv 3081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
17	11, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
18	17	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
21		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = l -> ( F ` j ) = ( F ` l ) )
22	21	breq1d 4450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ x ) )
23	22	cbvralv 3081	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
24	23	rexbii 2958	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
25	20, 24	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
26	2, 4, 9, 19, 25	climsup 13441	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
27		nnex 10531	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
28		fex 6124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
29	5, 27, 28	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. _V )
31		ltso 9654	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
32	31	supex 7912	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ran F , RR , < ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. _V )
34		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
35		breldmg 5199	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. _V /\ sup ( ran F , RR , < ) e. _V /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
36	30, 33, 34, 35	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
37	26, 36	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F e. dom ~~> )
38	1, 37	mtand 659	. . . . . 6 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
39		ralnex 2903	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
41		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
42	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : NN --> RR )
43	42	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
44	41, 43	ltnled 9720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
45	44	rexbidva 2963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x ) )
46		rexnal 2905	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
47	45, 46	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
48	47	ralbidva 2893	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
49	40, 48	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) )
50	49	r19.21bi 2826	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN x < ( F ` j ) )
51	41	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
52	43	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	42	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR )
54		uznnssnn 11117	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
55	54	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
56		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
57	55, 56	sseldd 3498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
58	53, 57	ffvelrnd 6013	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
59		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
60		simp-4l 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
61		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
62		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
63	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> F : NN --> RR )
64		fzssnn 27249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... k ) C_ NN )
65	64	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( j ... k ) C_ NN )
66		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. ( j ... k ) )
67	65, 66	sseldd 3498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. NN )
68	63, 67	ffvelrnd 6013	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( F ` l ) e. RR )
69		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
70		fzssnn 27249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
71	70	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
72		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. ( j ... ( k - 1 ) ) )
73	71, 72	sseldd 3498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. NN )
74	69, 73, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
75	62, 68, 74	monoord 12093	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
76	60, 61, 56, 75	syl21anc 1222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
77	51, 52, 58, 59, 76	ltletrd 9730	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` k ) )
78	77	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
79	78	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
80	79	reximdva 2931	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
81	50, 80	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
82	81	ralrimiva 2871	1 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   +oocpnf 9614   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   [,)cico 11520   ...cfz 11661   ~~> cli 13256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260

This theorem is referenced by:  lmdvglim  27558  esumcvg  27718