Theorem lmdvg 28089

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
lmdvg.3	|- ( ph -> -. F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. F e. dom ~~> )
2		nnuz 11036	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 10812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> 1 e. ZZ )
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5		rge0ssre 11549	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
6		fss 5647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : NN --> RR )
7	4, 5, 6	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8	7	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F : NN --> RR )
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
10	9	ralrimiva 2796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
11		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` k ) = ( F ` l ) )
12		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( k + 1 ) = ( l + 1 ) )
13	12	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( l + 1 ) ) )
14	11, 13	breq12d 4380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) ) )
15	14	cbvralv 3009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
16	10, 15	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
17	16	r19.21bi 2751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
18	17	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
19		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
20		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = l -> ( F ` j ) = ( F ` l ) )
21	20	breq1d 4377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ x ) )
22	21	cbvralv 3009	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
23	22	rexbii 2884	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
24	19, 23	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
25	2, 3, 8, 18, 24	climsup 13494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
26		nnex 10458	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
27		fex 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
28	4, 26, 27	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
29	28	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. _V )
30		ltso 9576	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
31	30	supex 7837	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ran F , RR , < ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. _V )
33		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
34		breldmg 5121	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. _V /\ sup ( ran F , RR , < ) e. _V /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
35	29, 32, 33, 34	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
36	25, 35	syldan 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F e. dom ~~> )
37	1, 36	mtand 657	. . . . . 6 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
38		ralnex 2828	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
39	37, 38	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
40		simplr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
41	7	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : NN --> RR )
42	41	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
43	40, 42	ltnled 9643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
44	43	rexbidva 2890	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x ) )
45		rexnal 2830	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
46	44, 45	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
47	46	ralbidva 2818	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
48	39, 47	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) )
49	48	r19.21bi 2751	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN x < ( F ` j ) )
50	40	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
51	42	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
52	41	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR )
53		uznnssnn 11048	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
54	53	ad3antlr 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
55		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
56	54, 55	sseldd 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
57	52, 56	ffvelrnd 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58		simplr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
59		simp-4l 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
60		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
61		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
62	7	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> F : NN --> RR )
63		fzssnn 27748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... k ) C_ NN )
64	63	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( j ... k ) C_ NN )
65		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. ( j ... k ) )
66	64, 65	sseldd 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. NN )
67	62, 66	ffvelrnd 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( F ` l ) e. RR )
68		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
69		fzssnn 27748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
70	69	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
71		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. ( j ... ( k - 1 ) ) )
72	70, 71	sseldd 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. NN )
73	68, 72, 17	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
74	61, 67, 73	monoord 12040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
75	59, 60, 55, 74	syl21anc 1225	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
76	50, 51, 57, 58, 75	ltletrd 9653	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` k ) )
77	76	ralrimiva 2796	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
78	77	ex 432	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
79	78	reximdva 2857	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
80	49, 79	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
81	80	ralrimiva 2796	1 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   +oocpnf 9536   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   NNcn 10452   ZZ>=cuz 11001   [,)cico 11452   ...cfz 11593   ~~> cli 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313

This theorem is referenced by:  lmdvglim  28090  esumcvg  28234