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Theorem lmdvg 28089
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
lmdvg.3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
lmdvg  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
2 nnuz 11036 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 1zzd 10812 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  1  e.  ZZ )
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5 rge0ssre 11549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
6 fss 5647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : NN --> RR )
74, 5, 6sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
87adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F : NN
--> RR )
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
109ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
11 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  k )  =  ( F `  l ) )
12 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  (
k  +  1 )  =  ( l  +  1 ) )
1312fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
1514cbvralv 3009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) )  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1610, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
1716r19.21bi 2751 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `
 l )  <_ 
( F `  (
l  +  1 ) ) )
19 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
20 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( F `  j )  =  ( F `  l ) )
2120breq1d 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
( F `  j
)  <_  x  <->  ( F `  l )  <_  x
) )
2221cbvralv 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2322rexbii 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x )
2419, 23sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  A. l  e.  NN  ( F `  l )  <_  x
)
252, 3, 8, 18, 24climsup 13494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
26 nnex 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
27 fex 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
284, 26, 27sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
2928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  _V )
30 ltso 9576 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3130supex 7837 . . . . . . . . . 10  |-  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  _V )
33 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
34 breldmg 5121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
_V  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3529, 32, 33, 34syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
3625, 35syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)  ->  F  e.  dom 
~~>  )
371, 36mtand 657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
38 ralnex 2828 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
3937, 38sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x )
40 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
417adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
4241ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4340, 42ltnled 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  <->  -.  ( F `  j )  <_  x ) )
4443rexbidva 2890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  E. j  e.  NN  -.  ( F `  j
)  <_  x )
)
45 rexnal 2830 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  -.  ( F `  j )  <_  x  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
)
4644, 45syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  <->  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x
) )
4746ralbidva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )  <->  A. x  e.  RR  -.  A. j  e.  NN  ( F `  j )  <_  x ) )
4839, 47mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
) )
4948r19.21bi 2751 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j )
)
5040ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  e.  RR )
5142ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5241ad3antrrr 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR )
53 uznnssnn 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  NN )
5453ad3antlr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  j )  C_  NN )
55 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
5654, 55sseldd 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
5752, 56ffvelrnd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
58 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  j ) )
59 simp-4l 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
60 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
61 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
627ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  F : NN
--> RR )
63 fzssnn 27748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... k )  C_  NN )
6463ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( j ... k )  C_  NN )
65 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  ( j ... k
) )
6664, 65sseldd 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  l  e.  NN )
6762, 66ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... k ) )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
68 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ph )
69 fzssnn 27748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j ... ( k  - 
1 ) )  C_  NN )
7069ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( j ... ( k  -  1 ) )  C_  NN )
71 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  ( j ... (
k  -  1 ) ) )
7270, 71sseldd 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  l  e.  NN )
7368, 72, 17syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  l  e.  ( j ... ( k  -  1 ) ) )  ->  ( F `  l )  <_  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
7461, 67, 73monoord 12040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7559, 60, 55, 74syl21anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  <_  ( F `  k )
)
7650, 51, 57, 58, 75ltletrd 9653 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  x  <  ( F `  k ) )
7776ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  x  <  ( F `  j )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
7877ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
x  <  ( F `  j )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
7978reximdva 2857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  NN  x  <  ( F `  j
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
8049, 79mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) )
8180ralrimiva 2796 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   +oocpnf 9536    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   ZZ>=cuz 11001   [,)cico 11452   ...cfz 11593    ~~> cli 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313
This theorem is referenced by:  lmdvglim  28090  esumcvg  28234
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