Theorem limensuci 8021

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 8020	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 7893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 4718	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 7922	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		incom 3767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8		disjdif 3992	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
9	7, 8	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10		limord 5701	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
12		ordirr 5658	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
14		disjsn 4192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
15	13, 14	mpbir 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16		unen 7925	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17	9, 15, 16	mpanr12 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
18	3, 6, 17	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19		0ellim 5704	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
21	4	snss 4259	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
22	20, 21	mpbi 219	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
23		undif 4001	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
24	22, 23	mpbi 219	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25		uncom 3719	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
26	24, 25	eqtr3i 2634	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27		df-suc 5646	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
28	18, 26, 27	3brtr4g 4617	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  Ord word 5639  Lim wlim 5641  suc csuc 5642   ≈ cen 7838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  limensuc  8022  infensuc  8023  omensuc  8436