Theorem limensuci 7690

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limensuci	|- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 |- Lim A
2	1	limenpsi 7689	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ ( A \ { (/) } ) )
3	2	ensymd 7563	. . 3 |- ( A e. V -> ( A \ { (/) } ) ~~ A )
4		0ex 4577	. . . 4 |- (/) e. _V
5		en2sn 7592	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. V ) -> { (/) } ~~ { A } )
6	4, 5	mpan 670	. . 3 |- ( A e. V -> { (/) } ~~ { A } )
7		incom 3691	. . . . 5 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) )
8		disjdif 3899	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/)
10		limord 4937	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> Ord A )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord A
12		ordirr 4896	. . . . . 6 |- ( Ord A -> -. A e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. A e. A
14		disjsn 4088	. . . . 5 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
15	13, 14	mpbir 209	. . . 4 |- ( A i^i { A } ) = (/)
16		unen 7595	. . . 4 |- ( ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) /\ ( ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/) /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
17	9, 15, 16	mpanr12 685	. . 3 |- ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
18	3, 6, 17	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
19		0ellim 4940	. . . . . 6 |- ( Lim A -> (/) e. A )
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- (/) e. A
21	4	snss 4151	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> { (/) } C_ A )
22	20, 21	mpbi 208	. . . 4 |- { (/) } C_ A
23		undif 3907	. . . 4 |- ( { (/) } C_ A <-> ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A )
24	22, 23	mpbi 208	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A
25		uncom 3648	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
26	24, 25	eqtr3i 2498	. 2 |- A = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
27		df-suc 4884	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
28	18, 26, 27	3brtr4g 4479	1 |- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   Ord word 4877   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   ~~ cen 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515

This theorem is referenced by:  limensuc  7691  infensuc  7692  omensuc  8068