MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Unicode version

Theorem limensuci 7730
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7729 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
32ensymd 7603 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
4 0ex 4525 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
5 en2sn 7632 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
64, 5mpan 668 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
7 incom 3631 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
8 disjdif 3843 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
97, 8eqtri 2431 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
10 limord 5468 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  A
12 ordirr 5427 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
14 disjsn 4031 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1513, 14mpbir 209 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
16 unen 7635 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
179, 15, 16mpanr12 683 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
183, 6, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
19 0ellim 5471 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
214snss 4095 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2220, 21mpbi 208 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
23 undif 3851 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2422, 23mpbi 208 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
25 uncom 3586 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2624, 25eqtr3i 2433 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
27 df-suc 5415 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2818, 26, 273brtr4g 4426 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   class class class wbr 4394   Ord word 5408   Lim wlim 5410   suc csuc 5411    ~~ cen 7550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555
This theorem is referenced by:  limensuc  7731  infensuc  7732  omensuc  8104
  Copyright terms: Public domain W3C validator