Theorem limensuci 7730

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limensuci	|- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 |- Lim A
2	1	limenpsi 7729	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ ( A \ { (/) } ) )
3	2	ensymd 7603	. . 3 |- ( A e. V -> ( A \ { (/) } ) ~~ A )
4		0ex 4525	. . . 4 |- (/) e. _V
5		en2sn 7632	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. V ) -> { (/) } ~~ { A } )
6	4, 5	mpan 668	. . 3 |- ( A e. V -> { (/) } ~~ { A } )
7		incom 3631	. . . . 5 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) )
8		disjdif 3843	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2431	. . . 4 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/)
10		limord 5468	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> Ord A )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord A
12		ordirr 5427	. . . . . 6 |- ( Ord A -> -. A e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. A e. A
14		disjsn 4031	. . . . 5 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
15	13, 14	mpbir 209	. . . 4 |- ( A i^i { A } ) = (/)
16		unen 7635	. . . 4 |- ( ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) /\ ( ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/) /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
17	9, 15, 16	mpanr12 683	. . 3 |- ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
18	3, 6, 17	syl2anc 659	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
19		0ellim 5471	. . . . . 6 |- ( Lim A -> (/) e. A )
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- (/) e. A
21	4	snss 4095	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> { (/) } C_ A )
22	20, 21	mpbi 208	. . . 4 |- { (/) } C_ A
23		undif 3851	. . . 4 |- ( { (/) } C_ A <-> ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A )
24	22, 23	mpbi 208	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A
25		uncom 3586	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
26	24, 25	eqtr3i 2433	. 2 |- A = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
27		df-suc 5415	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
28	18, 26, 27	3brtr4g 4426	1 |- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3058   \ cdif 3410   u. cun 3411   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   class class class wbr 4394   Ord word 5408   Lim wlim 5410   suc csuc 5411   ~~ cen 7550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555

This theorem is referenced by:  limensuc  7731  infensuc  7732  omensuc  8104