MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Unicode version

Theorem limensuci 7690
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7689 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
32ensymd 7563 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
4 0ex 4577 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
5 en2sn 7592 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
64, 5mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
7 incom 3691 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
8 disjdif 3899 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
97, 8eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
10 limord 4937 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  A
12 ordirr 4896 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
14 disjsn 4088 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1513, 14mpbir 209 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
16 unen 7595 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
179, 15, 16mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
183, 6, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
19 0ellim 4940 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
214snss 4151 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2220, 21mpbi 208 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
23 undif 3907 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2422, 23mpbi 208 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
25 uncom 3648 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2624, 25eqtr3i 2498 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
27 df-suc 4884 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2818, 26, 273brtr4g 4479 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   Ord word 4877   Lim wlim 4879   suc csuc 4880    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515
This theorem is referenced by:  limensuc  7691  infensuc  7692  omensuc  8068
  Copyright terms: Public domain W3C validator