Theorem limensuci 7753

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limensuci	|- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 |- Lim A
2	1	limenpsi 7752	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ ( A \ { (/) } ) )
3	2	ensymd 7625	. . 3 |- ( A e. V -> ( A \ { (/) } ) ~~ A )
4		0ex 4538	. . . 4 |- (/) e. _V
5		en2sn 7654	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. V ) -> { (/) } ~~ { A } )
6	4, 5	mpan 677	. . 3 |- ( A e. V -> { (/) } ~~ { A } )
7		incom 3627	. . . . 5 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) )
8		disjdif 3841	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2475	. . . 4 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/)
10		limord 5485	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> Ord A )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord A
12		ordirr 5444	. . . . . 6 |- ( Ord A -> -. A e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. A e. A
14		disjsn 4034	. . . . 5 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
15	13, 14	mpbir 213	. . . 4 |- ( A i^i { A } ) = (/)
16		unen 7657	. . . 4 |- ( ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) /\ ( ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/) /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
17	9, 15, 16	mpanr12 692	. . 3 |- ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
18	3, 6, 17	syl2anc 667	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
19		0ellim 5488	. . . . . 6 |- ( Lim A -> (/) e. A )
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- (/) e. A
21	4	snss 4099	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> { (/) } C_ A )
22	20, 21	mpbi 212	. . . 4 |- { (/) } C_ A
23		undif 3850	. . . 4 |- ( { (/) } C_ A <-> ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A )
24	22, 23	mpbi 212	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A
25		uncom 3580	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
26	24, 25	eqtr3i 2477	. 2 |- A = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
27		df-suc 5432	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
28	18, 26, 27	3brtr4g 4438	1 |- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   \ cdif 3403   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405   Ord word 5425   Lim wlim 5427   suc csuc 5428   ~~ cen 7571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576

This theorem is referenced by:  limensuc  7754  infensuc  7755  omensuc  8166