Theorem limensuci 7752

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limensuci	|- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 |- Lim A
2	1	limenpsi 7751	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ ( A \ { (/) } ) )
3	2	ensymd 7625	. . 3 |- ( A e. V -> ( A \ { (/) } ) ~~ A )
4		0ex 4554	. . . 4 |- (/) e. _V
5		en2sn 7654	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. V ) -> { (/) } ~~ { A } )
6	4, 5	mpan 675	. . 3 |- ( A e. V -> { (/) } ~~ { A } )
7		incom 3656	. . . . 5 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) )
8		disjdif 3868	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2452	. . . 4 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/)
10		limord 5499	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> Ord A )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord A
12		ordirr 5458	. . . . . 6 |- ( Ord A -> -. A e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. A e. A
14		disjsn 4058	. . . . 5 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
15	13, 14	mpbir 213	. . . 4 |- ( A i^i { A } ) = (/)
16		unen 7657	. . . 4 |- ( ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) /\ ( ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/) /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
17	9, 15, 16	mpanr12 690	. . 3 |- ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
18	3, 6, 17	syl2anc 666	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
19		0ellim 5502	. . . . . 6 |- ( Lim A -> (/) e. A )
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- (/) e. A
21	4	snss 4122	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> { (/) } C_ A )
22	20, 21	mpbi 212	. . . 4 |- { (/) } C_ A
23		undif 3877	. . . 4 |- ( { (/) } C_ A <-> ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A )
24	22, 23	mpbi 212	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A
25		uncom 3611	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
26	24, 25	eqtr3i 2454	. 2 |- A = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
27		df-suc 5446	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
28	18, 26, 27	3brtr4g 4454	1 |- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   class class class wbr 4421   Ord word 5439   Lim wlim 5441   suc csuc 5442   ~~ cen 7572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577

This theorem is referenced by:  limensuc  7753  infensuc  7754  omensuc  8164