MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limensuci 7753
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7752 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
32ensymd 7625 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
4 0ex 4538 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
5 en2sn 7654 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
64, 5mpan 677 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
7 incom 3627 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
8 disjdif 3841 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
97, 8eqtri 2475 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
10 limord 5485 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  A
12 ordirr 5444 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
14 disjsn 4034 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1513, 14mpbir 213 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
16 unen 7657 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
179, 15, 16mpanr12 692 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
183, 6, 17syl2anc 667 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
19 0ellim 5488 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
214snss 4099 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2220, 21mpbi 212 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
23 undif 3850 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2422, 23mpbi 212 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
25 uncom 3580 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2624, 25eqtr3i 2477 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
27 df-suc 5432 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2818, 26, 273brtr4g 4438 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405   Ord word 5425   Lim wlim 5427   suc csuc 5428    ~~ cen 7571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576
This theorem is referenced by:  limensuc  7754  infensuc  7755  omensuc  8166
  Copyright terms: Public domain W3C validator