MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Unicode version

Theorem limensuci 7752
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7751 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
32ensymd 7625 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
4 0ex 4554 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
5 en2sn 7654 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
64, 5mpan 675 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
7 incom 3656 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
8 disjdif 3868 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
97, 8eqtri 2452 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
10 limord 5499 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  A
12 ordirr 5458 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
14 disjsn 4058 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1513, 14mpbir 213 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
16 unen 7657 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
179, 15, 16mpanr12 690 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
183, 6, 17syl2anc 666 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
19 0ellim 5502 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
214snss 4122 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2220, 21mpbi 212 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
23 undif 3877 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2422, 23mpbi 212 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
25 uncom 3611 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2624, 25eqtr3i 2454 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
27 df-suc 5446 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2818, 26, 273brtr4g 4454 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   class class class wbr 4421   Ord word 5439   Lim wlim 5441   suc csuc 5442    ~~ cen 7572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577
This theorem is referenced by:  limensuc  7753  infensuc  7754  omensuc  8164
  Copyright terms: Public domain W3C validator