Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limenpsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limenpsi 8020
 Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limenpsi.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limenpsi (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4735 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2 limenpsi.1 . . . . . . . 8 Lim 𝐴
3 limsuc 6941 . . . . . . . 8 (Lim 𝐴 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴)
54biimpi 205 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
6 nsuceq0 5722 . . . . . 6 suc 𝑥 ≠ ∅
75, 6jctir 559 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8 eldifsn 4260 . . . . 5 (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
97, 8sylibr 223 . . . 4 (𝑥𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
10 limord 5701 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
112, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordelon 5664 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1311, 12mpan 702 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
14 ordelon 5664 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
1511, 14mpan 702 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ On)
16 suc11 5748 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
1713, 15, 16syl2an 493 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
189, 17dom3 7885 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
191, 18mpdan 699 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
20 difss 3699 . . 3 (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
21 ssdomg 7887 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
2220, 21mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
23 sbth 7965 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
2419, 22, 23syl2anc 691 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  suc csuc 5642   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-en 7842  df-dom 7843 This theorem is referenced by:  limensuci  8021  omenps  8435  infdifsn  8437  ominf4  9017
 Copyright terms: Public domain W3C validator