Theorem nsuceq0 5722

Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3878	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 5720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2677	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 189	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
7		eleq1 2676	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
9	8	con3i 149	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10		sucprc 5717	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
11	10	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
12	9, 11	mtbird 314	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
13	5, 12	pm2.61i 175	. 2 ⊢ ¬ suc 𝐴 = ∅
14	13	neir 2785	1 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  suc csuc 5642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-nul 3875  df-sn 4126  df-suc 5646

This theorem is referenced by:  0elsuc  6927  peano3  6979  2on0  7456  oelim2  7562  limenpsi  8020  enp1i  8080  findcard2  8085  fseqdom  8732  dfac12lem2  8849  cfsuc  8962  cfpwsdom  9285  rankcf  9478  dfrdg2  30945  nosgnn0  31055  sltsolem1  31067  dfrdg4  31228