MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 5664
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 5662 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 5648 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 481 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 246 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  Ord word 5639  Oncon0 5640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644
This theorem is referenced by:  onelon  5665  ordunidif  5690  ordpwsuc  6907  ordsucun  6917  ordunel  6919  ordunisuc2  6936  oesuclem  7492  odi  7546  oelim2  7562  oeoalem  7563  oeoelem  7565  limenpsi  8020  ordtypelem9  8314  oismo  8328  cantnflt  8452  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1b  8466  cantnflem1  8469  rankr1bg  8549  rankr1clem  8566  rankr1c  8567  rankonidlem  8574  infxpenlem  8719  coflim  8966  fin23lem26  9030  fpwwe2lem8  9338  nofulllem5  31105  onsuct0  31610  iunord  42220
  Copyright terms: Public domain W3C validator