Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilip 36258
 Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilip.p , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilip (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilip.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilip.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hlhilip.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐿)
5 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
6 eqid 2610 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2610 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2610 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
9 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
10 hlhilip.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hlhilip.p . . . 4 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
12 hlhilip.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 36244 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
1413fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (·𝑖𝑈) = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
15 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝐿) ∈ V
164, 15eqeltri 2684 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1716, 16mpt2ex 7136 . . . 4 (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) ∈ V
1811, 17eqeltri 2684 . . 3 , ∈ V
19 eqid 2610 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
2019phlip 15862 . . 3 ( , ∈ V → , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
2118, 20ax-mp 5 . 2 , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
2214, 21syl6reqr 2663 1 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  *𝑟cstv 15770  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ·𝑖cip 15773  HLchlt 33655  LHypclh 34288  EDRingcedring 35059  DVecHcdvh 35385  HDMapchdma 36100  HGMapchg 36193  HLHilchlh 36242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-hlhil 36243 This theorem is referenced by:  hlhilipval  36259
 Copyright terms: Public domain W3C validator