Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Unicode version

Theorem hlhilip 38091
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.p  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
Assertion
Ref Expression
hlhilip  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    ph, x, y    x, S, y    x, V, y   
x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    ., ( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilip.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilip.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2382 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2382 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2382 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2382 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2382 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 hlhilip.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hlhilip.p . . . 4  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
12 hlhilip.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 38077 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
1413fveq2d 5778 . 2  |-  ( ph  ->  ( .i `  U
)  =  ( .i
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
15 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2466 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
1716, 16mpt2ex 6776 . . . 4  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  e.  _V
1811, 17eqeltri 2466 . . 3  |-  .,  e.  _V
19 eqid 2382 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
2019phlip 14792 . . 3  |-  (  .,  e.  _V  ->  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
2118, 20ax-mp 5 . 2  |-  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
2214, 21syl6reqr 2442 1  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    u. cun 3387   {cpr 3946   {ctp 3948   <.cop 3950   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   ndxcnx 14631   sSet csts 14632   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   *rcstv 14704  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   .icip 14707   HLchlt 35488   LHypclh 36121   EDRingcedring 36892   DVecHcdvh 37218  HDMapchdma 37933  HGMapchg 38026  HLHilchlh 38075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-hlhil 38076
This theorem is referenced by:  hlhilipval  38092
  Copyright terms: Public domain W3C validator