Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcom3 20024
 Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3.z 0 = (0g𝐺)
gsumcom3.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumcom3.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumcom3.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsumcom3.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsumcom3.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3
StepHypRef Expression
1 gsumcom3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumcom3.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumcom3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumcom3.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumcom3.r . . 3 (𝜑𝐶𝑊)
6 gsumcom3.f . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
7 gsumcom3.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
8 gsumcom3.n . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8gsumcom 18199 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶, 𝑗𝐴𝑋)))
105adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
111, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8gsum2d2 18196 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
124adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐴𝑉)
136ancom2s 840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐶𝑗𝐴)) → 𝑋𝐵)
14 cnvfi 8131 . . . 4 (𝑈 ∈ Fin → 𝑈 ∈ Fin)
157, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 ancom 465 . . . . 5 ((𝑘𝐶𝑗𝐴) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
17 vex 3176 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
18 vex 3176 . . . . . . 7 𝑗 ∈ V
1917, 18brcnv 5227 . . . . . 6 (𝑘𝑈𝑗𝑗𝑈𝑘)
2019notbii 309 . . . . 5 𝑘𝑈𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑈𝑘)
2116, 20anbi12i 729 . . . 4 (((𝑘𝐶𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑘𝑈𝑗) ↔ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘))
2221, 8sylan2b 491 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑘𝐶𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑘𝑈𝑗)) → 𝑋 = 0 )
231, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22gsum2d2 18196 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐶, 𝑗𝐴𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴𝑋)))))
249, 11, 233eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴𝑋)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  20025
 Copyright terms: Public domain W3C validator