MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom3 Structured version   Unicode version

Theorem gsumcom3 18299
Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcom3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcom3.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcom3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcom3.r  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
gsumcom3.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsumcom3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsumcom3.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    C, j, k    j, G, k    U, j, k    j, V    .0. , j, k    ph, j,
k    k, W
Allowed substitution hints:    V( k)    W( j)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumcom3
StepHypRef Expression
1 gsumcom3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcom3.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumcom3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumcom3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 gsumcom3.r . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
6 gsumcom3.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
7 gsumcom3.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
8 gsumcom3.n . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8gsumcom 16469 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) ) )
105adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
111, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8gsum2d2 16466 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
124adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  A  e.  V )
136ancom2s 800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  A ) )  ->  X  e.  B )
14 cnvfi 7595 . . . 4  |-  ( U  e.  Fin  ->  `' U  e.  Fin )
157, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' U  e.  Fin )
16 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C )
)
17 vex 2975 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
18 vex 2975 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
1917, 18brcnv 5022 . . . . . 6  |-  ( k `' U j  <->  j U
k )
2019notbii 296 . . . . 5  |-  ( -.  k `' U j  <->  -.  j U k )
2116, 20anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A
)  /\  -.  k `' U j )  <->  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
2221, 8sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  C  /\  j  e.  A )  /\  -.  k `' U
j ) )  ->  X  =  .0.  )
231, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22gsum2d2 16466 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
249, 11, 233eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   Fincfn 7310   Basecbs 14174   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379  CMndccmn 16277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279
This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  18300
  Copyright terms: Public domain W3C validator