MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom3 Structured version   Unicode version

Theorem gsumcom3 19028
Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcom3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcom3.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcom3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcom3.r  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
gsumcom3.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsumcom3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsumcom3.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    C, j, k    j, G, k    U, j, k    j, V    .0. , j, k    ph, j,
k    k, W
Allowed substitution hints:    V( k)    W( j)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumcom3
StepHypRef Expression
1 gsumcom3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcom3.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumcom3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumcom3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 gsumcom3.r . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
6 gsumcom3.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
7 gsumcom3.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
8 gsumcom3.n . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8gsumcom 17132 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) ) )
105adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
111, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8gsum2d2 17129 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
124adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  A  e.  V )
136ancom2s 802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  A ) )  ->  X  e.  B )
14 cnvfi 7822 . . . 4  |-  ( U  e.  Fin  ->  `' U  e.  Fin )
157, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' U  e.  Fin )
16 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C )
)
17 vex 3112 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
18 vex 3112 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
1917, 18brcnv 5195 . . . . . 6  |-  ( k `' U j  <->  j U
k )
2019notbii 296 . . . . 5  |-  ( -.  k `' U j  <->  -.  j U k )
2116, 20anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  j  e.  A
)  /\  -.  k `' U j )  <->  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
2221, 8sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  C  /\  j  e.  A )  /\  -.  k `' U
j ) )  ->  X  =  .0.  )
231, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22gsum2d2 17129 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  C ,  j  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
249, 11, 233eqtr3d 2506 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Fincfn 7535   Basecbs 14644   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858  CMndccmn 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927
This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  19029
  Copyright terms: Public domain W3C validator