Theorem funcrcl 16346

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16341	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpt2cl 6774	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  [wsbc 3402  ⟨cop 4131  {copab 4642   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1^st c1st 7057  2^nd c2nd 7058   ↑_𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Basecbs 15695  Hom chom 15779  compcco 15780  Catccat 16148  Idccid 16149   Func cfunc 16337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-func 16341

This theorem is referenced by:  funcf1  16349  funcixp  16350  funcid  16353  funcco  16354  funcsect  16355  funcinv  16356  funciso  16357  funcoppc  16358  cofucl  16371  cofulid  16373  cofurid  16374  funcres  16379  funcres2b  16380  funcpropd  16383  funcres2c  16384  isfull  16393  isfth  16397  fthsect  16408  fthinv  16409  fthmon  16410  fthepi  16411  ffthiso  16412  natfval  16429  fucbas  16443  fuchom  16444  fucco  16445  fuccocl  16447  fucidcl  16448  fuclid  16449  fucrid  16450  fucass  16451  fucid  16454  fucsect  16455  fucinv  16456  invfuc  16457  fuciso  16458  funcsetcres2  16566  prfcl  16666  prf1st  16667  prf2nd  16668  curf1cl  16691  curfcl  16695  uncfval  16697  uncfcl  16698  uncf1  16699  uncf2  16700  curfuncf  16701  uncfcurf  16702  yonffthlem  16745  yoneda  16746