Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcres2 16566
 Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1 (𝜑𝑈𝑊)
resssetc.2 (𝜑𝑉𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcres2 (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf𝐸) = (Homf𝐸))
2 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf𝐸) = (compf𝐸))
3 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
5 resssetc.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑊)
6 resssetc.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
76setccat 16558 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑊𝐶 ∈ Cat)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10 resssetc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉𝑈)
116, 5setcbas 16551 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
1210, 11sseqtrd 3604 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐶s 𝑉) = (𝐶s 𝑉)
15 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
163, 4, 9, 13, 14, 15fullresc 16334 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
1716simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18 resssetc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
196, 18, 5, 10resssetc 16565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷)))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷)))
2120simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷))
2217, 21eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf𝐷))
2316simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
2420simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷))
2523, 24eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf𝐷))
26 funcrcl 16346 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2827simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
293, 4, 9, 13fullsubc 16333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
3015, 29subccat 16331 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
3127simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
321, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31funcpropd 16383 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33 funcres2 16381 . . . . . 6 (((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
3429, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
3532, 34eqsstr3d 3603 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
3735, 36sseldd 3569 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
3837ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
3938ssrdv 3574 1 (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Catccat 16148  Homf chomf 16150  compfccomf 16151   ↾cat cresc 16291  Subcatcsubc 16292   Func cfunc 16337  SetCatcsetc 16548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-cco 15794  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-comf 16155  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295  df-func 16341  df-setc 16549 This theorem is referenced by:  yonedalem1  16735
 Copyright terms: Public domain W3C validator