MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Unicode version

Theorem funcrcl 14887
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 14882 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y ( Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6409 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   [.wsbc 3288   <.cop 3986   {copab 4452    X. cxp 4941   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681    ^m cmap 7319   X_cixp 7368   Basecbs 14287   Hom chom 14363  compcco 14364   Catccat 14716   Idccid 14717    Func cfunc 14878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4949  df-dm 4953  df-iota 5484  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-func 14882
This theorem is referenced by:  funcf1  14890  funcixp  14891  funcid  14894  funcco  14895  funcsect  14896  funcinv  14897  funciso  14898  funcoppc  14899  cofucl  14912  cofulid  14914  cofurid  14915  funcres  14920  funcres2b  14921  funcpropd  14924  funcres2c  14925  isfull  14934  isfth  14938  fthsect  14949  fthinv  14950  fthmon  14951  fthepi  14952  ffthiso  14953  natfval  14970  fucbas  14984  fuchom  14985  fucco  14986  fuccocl  14988  fucidcl  14989  fuclid  14990  fucrid  14991  fucass  14992  fucid  14995  fucsect  14996  fucinv  14997  invfuc  14998  fuciso  14999  funcsetcres2  15075  prfcl  15127  prf1st  15128  prf2nd  15129  curf1cl  15152  curfcl  15156  uncfval  15158  uncfcl  15159  uncf1  15160  uncf2  15161  curfuncf  15162  uncfcurf  15163  yonffthlem  15206  yoneda  15207
  Copyright terms: Public domain W3C validator