MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Unicode version

Theorem funcrcl 14769
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 14764 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y ( Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6303 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   [.wsbc 3183   <.cop 3880   {copab 4346    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575    ^m cmap 7210   X_cixp 7259   Basecbs 14170   Hom chom 14245  compcco 14246   Catccat 14598   Idccid 14599    Func cfunc 14760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-xp 4842  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-func 14764
This theorem is referenced by:  funcf1  14772  funcixp  14773  funcid  14776  funcco  14777  funcsect  14778  funcinv  14779  funciso  14780  funcoppc  14781  cofucl  14794  cofulid  14796  cofurid  14797  funcres  14802  funcres2b  14803  funcpropd  14806  funcres2c  14807  isfull  14816  isfth  14820  fthsect  14831  fthinv  14832  fthmon  14833  fthepi  14834  ffthiso  14835  natfval  14852  fucbas  14866  fuchom  14867  fucco  14868  fuccocl  14870  fucidcl  14871  fuclid  14872  fucrid  14873  fucass  14874  fucid  14877  fucsect  14878  fucinv  14879  invfuc  14880  fuciso  14881  funcsetcres2  14957  prfcl  15009  prf1st  15010  prf2nd  15011  curf1cl  15034  curfcl  15038  uncfval  15040  uncfcl  15041  uncf1  15042  uncf2  15043  curfuncf  15044  uncfcurf  15045  yonffthlem  15088  yoneda  15089
  Copyright terms: Public domain W3C validator