Theorem fsumcl2lem 14309

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fsumcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl2lem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl2lem

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcl2lem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐴 ≠ ∅))
3	2	necon4bd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
4		sumfc 14287	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
5		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
6		simprl 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
7		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8		fsumcllem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fsumcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	10, 11	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
14	13	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ 𝑆)
15	9, 14	sseldd 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16		f1of 6050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
18		fvco3 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
19	17, 18	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
20	5, 6, 7, 15, 19	fsum 14298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
21	4, 20	syl5eqr 2658	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
22		nnuz 11599	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	6, 22	syl6eleq 2698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
24		fco 5971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
25	13, 17, 24	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
26	25	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
27		fsumcllem.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
28	27	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	23, 26, 28	seqcl 12683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)) ∈ 𝑆)
30	21, 29	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
31	30	expr 641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
33	32	expimpd 627	. 2 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
34		fsumcllem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
35		fz1f1o 14288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
37	3, 33, 36	mpjaod 395	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  #chash 12979  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  fsumcllem  14310  fsumrpcl  14315