Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege98 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege98 37275
 Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege98.x 𝑋𝐴
frege98.y 𝑌𝐵
frege98.z 𝑍𝐶
frege98.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege98 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98
StepHypRef Expression
1 frege98.x . . . 4 𝑋𝐴
2 frege98.r . . . 4 𝑅𝐷
31, 2frege97 37274 . . 3 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4 frege98.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege98.z . . . 4 𝑍𝐶
6 fvex 6113 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
7 imaexg 6995 . . . . 5 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
94, 5, 2, 8frege84 37261 . . 3 (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
103, 9ax-mp 5 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
111elexi 3186 . . . 4 𝑋 ∈ V
124elexi 3186 . . . 4 𝑌 ∈ V
1311, 12elimasn 5409 . . 3 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14 df-br 4584 . . 3 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1513, 14bitr4i 266 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
165elexi 3186 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1711, 16elimasn 5409 . . . 4 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18 df-br 4584 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1917, 18bitr4i 266 . . 3 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
2019imbi2i 325 . 2 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
2110, 15, 203imtr3i 279 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   “ cima 5041  ‘cfv 5804  t+ctcl 13572   hereditary whe 37086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-frege1 37104  ax-frege2 37105  ax-frege8 37123  ax-frege52a 37171  ax-frege58b 37215 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-trcl 13574  df-relexp 13609  df-he 37087 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator