Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege93 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege93 37270
Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege93 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . 5 𝑓 ∈ V
21frege60c 37237 . . . 4 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓)))
3 sbcid 3419 . . . 4 ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
4 sbcid 3419 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓))
5 sbcid 3419 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝑓)
64, 5imbi12i 339 . . . 4 (([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))
72, 3, 63imtr3g 283 . . 3 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
87axc4i 2116 . 2 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
9 frege91.x . . 3 𝑋𝑈
10 frege91.y . . 3 𝑌𝑉
11 frege91.r . . 3 𝑅𝑊
129, 10, 11frege90 37267 . 2 ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
138, 12ax-mp 5 1 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1473  wcel 1977  Vcvv 3173  [wsbc 3402   class class class wbr 4583  cfv 5804  t+ctcl 13572   hereditary whe 37086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-frege1 37104  ax-frege2 37105  ax-frege8 37123  ax-frege52a 37171  ax-frege58b 37215
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-trcl 13574  df-relexp 13609  df-he 37087
This theorem is referenced by:  frege94  37271
  Copyright terms: Public domain W3C validator