Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege93 Structured version   Unicode version

Theorem frege93 36404
Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x  |-  X  e.  U
frege91.y  |-  Y  e.  V
frege91.r  |-  R  e.  W
Assertion
Ref Expression
frege93  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X
( t+ `  R ) Y )
Distinct variable groups:    z, f, R    U, f    f, V   
f, W    f, X, z    f, Y
Allowed substitution hints:    U( z)    V( z)    W( z)    Y( z)

Proof of Theorem frege93
StepHypRef Expression
1 vex 3081 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
21frege60c 36371 . . . 4  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  ( [. f  /  f ]. R hereditary  f  ->  ( [. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  [. f  /  f ]. Y  e.  f ) ) )
3 sbcid 3313 . . . 4  |-  ( [. f  /  f ]. R hereditary  f  <-> 
R hereditary  f )
4 sbcid 3313 . . . . 5  |-  ( [. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  <->  A. z
( X R z  ->  z  e.  f ) )
5 sbcid 3313 . . . . 5  |-  ( [. f  /  f ]. Y  e.  f  <->  Y  e.  f
)
64, 5imbi12i 327 . . . 4  |-  ( (
[. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  [. f  /  f ]. Y  e.  f )  <->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) )
72, 3, 63imtr3g 272 . . 3  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  ( R hereditary  f  ->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
87axc4i 1952 . 2  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  A. f
( R hereditary  f  ->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
9 frege91.x . . 3  |-  X  e.  U
10 frege91.y . . 3  |-  Y  e.  V
11 frege91.r . . 3  |-  R  e.  W
129, 10, 11frege90 36401 . 2  |-  ( ( A. f ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  A. f ( R hereditary  f  -> 
( A. z ( X R z  -> 
z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )  -> 
( A. f ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X ( t+ `  R ) Y ) )
138, 12ax-mp 5 1  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X
( t+ `  R ) Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1435    e. wcel 1867   _Vcvv 3078   [.wsbc 3296   class class class wbr 4417   ` cfv 5593   t+ctcl 13028   hereditary whe 36219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-frege1 36238  ax-frege2 36239  ax-frege8 36257  ax-frege52a 36305  ax-frege58b 36349
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-ifp 1421  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-seq 12207  df-trcl 13030  df-relexp 13063  df-he 36220
This theorem is referenced by:  frege94  36405
  Copyright terms: Public domain W3C validator