Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege93 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frege93 36546
Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x  |-  X  e.  U
frege91.y  |-  Y  e.  V
frege91.r  |-  R  e.  W
Assertion
Ref Expression
frege93  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X
( t+ `  R ) Y )
Distinct variable groups:    z, f, R    U, f    f, V   
f, W    f, X, z    f, Y
Allowed substitution hints:    U( z)    V( z)    W( z)    Y( z)

Proof of Theorem frege93
StepHypRef Expression
1 vex 3047 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
21frege60c 36513 . . . 4  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  ( [. f  /  f ]. R hereditary  f  ->  ( [. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  [. f  /  f ]. Y  e.  f ) ) )
3 sbcid 3283 . . . 4  |-  ( [. f  /  f ]. R hereditary  f  <-> 
R hereditary  f )
4 sbcid 3283 . . . . 5  |-  ( [. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  <->  A. z
( X R z  ->  z  e.  f ) )
5 sbcid 3283 . . . . 5  |-  ( [. f  /  f ]. Y  e.  f  <->  Y  e.  f
)
64, 5imbi12i 328 . . . 4  |-  ( (
[. f  /  f ]. A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  [. f  /  f ]. Y  e.  f )  <->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) )
72, 3, 63imtr3g 273 . . 3  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  ( R hereditary  f  ->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
87axc4i 1979 . 2  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  A. f
( R hereditary  f  ->  ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )
9 frege91.x . . 3  |-  X  e.  U
10 frege91.y . . 3  |-  Y  e.  V
11 frege91.r . . 3  |-  R  e.  W
129, 10, 11frege90 36543 . 2  |-  ( ( A. f ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  A. f ( R hereditary  f  -> 
( A. z ( X R z  -> 
z  e.  f )  ->  Y  e.  f ) ) )  -> 
( A. f ( A. z ( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X ( t+ `  R ) Y ) )
138, 12ax-mp 5 1  |-  ( A. f ( A. z
( X R z  ->  z  e.  f )  ->  ( R hereditary  f  ->  Y  e.  f ) )  ->  X
( t+ `  R ) Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1441    e. wcel 1886   _Vcvv 3044   [.wsbc 3266   class class class wbr 4401   ` cfv 5581   t+ctcl 13042   hereditary whe 36361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-frege1 36380  ax-frege2 36381  ax-frege8 36399  ax-frege52a 36447  ax-frege58b 36491
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-ifp 1425  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-trcl 13044  df-relexp 13077  df-he 36362
This theorem is referenced by:  frege94  36547
  Copyright terms: Public domain W3C validator