MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczfsuppd 8176
Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fczfsuppd.b (𝜑𝐵𝑉)
fczfsuppd.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fczfsuppd (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd
StepHypRef Expression
1 fczfsuppd.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
2 fnconstg 6006 . . 3 (𝑍𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3 fnfun 5902 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5 fczsupp0 7211 . . . 4 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6 0fin 8073 . . . 4 ∅ ∈ Fin
75, 6eqeltri 2684 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fczfsuppd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
10 snex 4835 . . . 4 {𝑍} ∈ V
11 xpexg 6858 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13 isfsupp 8162 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1412, 1, 13syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
154, 8, 14mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  Vcvv 3173  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159
This theorem is referenced by:  cantnf0  8455  cantnf  8473  dprdsubg  18246  tsms0  21755  tgptsmscls  21763  dchrptlem3  24791
  Copyright terms: Public domain W3C validator