Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczsupp0 7211
 Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fczsupp0 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2 fnconstg 6006 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
32adantl 481 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4 snnzg 4251 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
54adantl 481 . . . . 5 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → {𝑍} ≠ ∅)
6 simpl 472 . . . . 5 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
7 xpexcnv 7001 . . . . 5 (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 691 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9 simpr 476 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
10 fnsuppeq0 7210 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
113, 8, 9, 10syl3anc 1318 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
121, 11mpbird 246 . 2 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
13 supp0prc 7185 . 2 (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
1412, 13pm2.61i 175 1 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   × cxp 5036   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549   supp csupp 7182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183 This theorem is referenced by:  fczfsuppd  8176  cantnf  8473
 Copyright terms: Public domain W3C validator