MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczfsuppd Structured version   Unicode version

Theorem fczfsuppd 7910
Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fczfsuppd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
fczfsuppd.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fczfsuppd  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z )

Proof of Theorem fczfsuppd
StepHypRef Expression
1 fczfsuppd.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
2 fnconstg 5788 . . 3  |-  ( Z  e.  W  ->  ( B  X.  { Z }
)  Fn  B )
3 fnfun 5691 . . 3  |-  ( ( B  X.  { Z } )  Fn  B  ->  Fun  ( B  X.  { Z } ) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( B  X.  { Z } ) )
5 fczsupp0 6955 . . . 4  |-  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z )  =  (/)
6 0fin 7808 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
75, 6eqeltri 2503 . . 3  |-  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z )  e.  Fin
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z
)  e.  Fin )
9 fczfsuppd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
10 snex 4662 . . . 4  |-  { Z }  e.  _V
11 xpexg 6607 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( B  X.  { Z } )  e. 
_V )
129, 10, 11sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } )  e.  _V )
13 isfsupp 7896 . . 3  |-  ( ( ( B  X.  { Z } )  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( B  X.  { Z }
) finSupp  Z  <->  ( Fun  ( B  X.  { Z }
)  /\  ( ( B  X.  { Z }
) supp  Z )  e.  Fin ) ) )
1412, 1, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z  <->  ( Fun  ( B  X.  { Z } )  /\  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z
)  e.  Fin )
) )
154, 8, 14mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   _Vcvv 3080   (/)c0 3761   {csn 3998   class class class wbr 4423    X. cxp 4851   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7580   finSupp cfsupp 7892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-supp 6926  df-en 7581  df-fin 7584  df-fsupp 7893
This theorem is referenced by:  cantnf0  8188  cantnf  8206  dprdsubg  17656  tsms0  21154  tgptsmscls  21162  dchrptlem3  24192
  Copyright terms: Public domain W3C validator