MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczfsuppd Structured version   Unicode version

Theorem fczfsuppd 7883
Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fczfsuppd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
fczfsuppd.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fczfsuppd  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z )

Proof of Theorem fczfsuppd
StepHypRef Expression
1 fczfsuppd.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
2 fnconstg 5758 . . 3  |-  ( Z  e.  W  ->  ( B  X.  { Z }
)  Fn  B )
3 fnfun 5661 . . 3  |-  ( ( B  X.  { Z } )  Fn  B  ->  Fun  ( B  X.  { Z } ) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( B  X.  { Z } ) )
5 fczsupp0 6934 . . . 4  |-  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z )  =  (/)
6 0fin 7784 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
75, 6eqeltri 2488 . . 3  |-  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z )  e.  Fin
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z
)  e.  Fin )
9 fczfsuppd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
10 snex 4634 . . . 4  |-  { Z }  e.  _V
11 xpexg 6586 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( B  X.  { Z } )  e. 
_V )
129, 10, 11sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } )  e.  _V )
13 isfsupp 7869 . . 3  |-  ( ( ( B  X.  { Z } )  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( B  X.  { Z }
) finSupp  Z  <->  ( Fun  ( B  X.  { Z }
)  /\  ( ( B  X.  { Z }
) supp  Z )  e.  Fin ) ) )
1412, 1, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z  <->  ( Fun  ( B  X.  { Z } )  /\  ( ( B  X.  { Z } ) supp  Z
)  e.  Fin )
) )
154, 8, 14mpbir2and 925 1  |-  ( ph  ->  ( B  X.  { Z } ) finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   _Vcvv 3061   (/)c0 3740   {csn 3974   class class class wbr 4397    X. cxp 4823   Fun wfun 5565    Fn wfn 5566  (class class class)co 6280   supp csupp 6904   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-supp 6905  df-en 7557  df-fin 7560  df-fsupp 7866
This theorem is referenced by:  cantnf0  8128  cantnf  8146  dprdsubg  17393  tsms0  20937  tgptsmscls  20946  dchrptlem3  23924
  Copyright terms: Public domain W3C validator