Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnf0 8455
 Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnf0.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cantnf0 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2610 . . 3 OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5 cantnf0.a . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6 fconst6g 6007 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵𝐴)
83, 5fczfsuppd 8176 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
91, 2, 3cantnfs 8446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
107, 8, 9mpbir2and 959 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11 eqid 2610 . . 3 seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 8448 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14 0ex 4718 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fnconstg 6006 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
1714a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
18 fnsuppeq0 7210 . . . . . . . 8 (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
1916, 3, 17, 18syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
2013, 19mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21 oieq2 8301 . . . . . 6 (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
2322dmeqd 5248 . . . 4 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24 we0 5033 . . . . . 6 E We ∅
25 eqid 2610 . . . . . . 7 OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
2625oien 8326 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
2714, 24, 26mp2an 704 . . . . 5 dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28 en0 7905 . . . . 5 (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
2927, 28mpbi 219 . . . 4 dom OrdIso( E , ∅) = ∅
3023, 29syl6eq 2660 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
3130fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅))
3211seqom0g 7438 . . 3 (∅ ∈ V → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3314, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
3412, 31, 333eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   E cep 4947   We wwe 4996   × cxp 5036  dom cdm 5038  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   supp csupp 7182  seq𝜔cseqom 7429   +𝑜 coa 7444   ·𝑜 comu 7445   ↑𝑜 coe 7446   ≈ cen 7838   finSupp cfsupp 8158  OrdIsocoi 8297   CNF ccnf 8441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-cnf 8442 This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  8481
 Copyright terms: Public domain W3C validator