Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 19510. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1gsumadd.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1gsumadd.p 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
evl1gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
evl1gsumadd.n (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0 0 = (0g𝑊)
evl1gsumadd.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd
StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
31, 2evl1fval1 19516 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
6 evl1gsumadd.w . . . . . 6 𝑊 = (Poly1𝑅)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82ressid 15762 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (𝑅s 𝐾))
1110fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (Poly1𝑅) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
126, 11syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
1312oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌)) = ((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌)))
1413fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))))
15 eqid 2610 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
16 eqid 2610 . . . 4 (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾))
17 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
18 eqid 2610 . . . 4 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
19 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
20 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
21 crngring 18381 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
222subrgid 18605 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
237, 21, 223syl 18 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
24 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
25 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2612adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
2726fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2825, 27syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2924, 28eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
30 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
31 evl1gsumadd.f . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
3212eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = 𝑊)
3332fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g𝑊))
34 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
3533, 34syl6eqr 2662 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = 0 )
3631, 35breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
3715, 2, 16, 17, 18, 19, 20, 7, 23, 29, 30, 36evls1gsumadd 19510 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
3814, 37eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
394fveq1d 6105 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
4039eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄𝑌))
4140mpteq2dv 4673 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌)))
4241oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
435, 38, 423eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924   ↑s cpws 15930  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  SubRingcsubrg 18599  Poly1cpl1 19368   evalSub1 ces1 19499  eval1ce1 19500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-evls1 19501  df-evl1 19502 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator