Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evennn02n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evennn02n 14912
 Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn02n (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn02n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2676 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5 zre 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7 2pos 10989 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 2)
9 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑛))
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
11 prodge0 10749 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1319 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑛)
13 elnn0z 11267 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
142, 12, 13sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1514ex 449 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
161, 15syl6bir 243 . . . . . . 7 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
1716com13 86 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0)))
1817impcom 445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0))
1918pm4.71rd 665 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2019bicomd 212 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2120rexbidva 3031 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22 nn0ssz 11275 . . 3 0 ⊆ ℤ
23 rexss 3632 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2422, 23mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25 even2n 14904 . . 3 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2625a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2721, 24, 263bitr4rd 300 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (2 · 𝑛) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator