Theorem evennn2n 14913

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3		2re 10967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5		zre 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7		0le2 10988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 2)
9		nngt0 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < (2 · 𝑛))
11		prodgt0 10747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 0 < (2 · 𝑛))) → 0 < 𝑛)
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 𝑛)
13		elnnz 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
14	2, 12, 13	sylanbrc 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ))
16	1, 15	syl6bir 243	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ)))
17	16	com13 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
18	17	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
19	18	pm4.71rd 665	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
20	19	bicomd 212	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
21	20	rexbidva 3031	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22		nnssz 11274	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
23		rexss 3632	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
24	22, 23	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25		even2n 14904	. . 3 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
27	21, 24, 26	3bitr4rd 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  lighneallem2  40061