Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem2N 35295
 Description: Lemma for eringring 35298. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem2N
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 35107 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2616 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 35108 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
10 erngdv.p . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
119, 10syl6reqr 2663 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 erngdv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14 erngdv.i . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
151, 4, 12, 2, 3, 10, 13, 14erngdvlem1 35294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
161, 2, 3, 10tendoplcom 35088 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) = (𝑡𝑃𝑠))
177, 11, 15, 16isabld 18029 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643   I cid 4948  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Abelcabl 18017  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  EDRingcedring 35059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator