Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
elpadd ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑟,𝑞)   + (𝑟,𝑞)   (𝑟,𝑞)   (𝑟,𝑞)   𝑋(𝑟)

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 34102 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}))
65eleq2d 2673 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)})))
7 elun 3715 . . 3 (𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}))
8 elun 3715 . . . 4 (𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌))
9 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑆 → (𝑝 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑞 𝑟)))
1092rexbidv 3039 . . . . 5 (𝑝 = 𝑆 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
1110elrab 3331 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)} ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))
128, 11orbi12i 542 . . 3 ((𝑆 ∈ (𝑋𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
137, 12bitri 263 . 2 (𝑆 ∈ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)}) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
146, 13syl6bb 275 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  +𝑃cpadd 34099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-padd 34100 This theorem is referenced by:  elpaddn0  34104  elpadd0  34113  paddss1  34121  paddss2  34122  paddidm  34145  paddclN  34146  pmapjoin  34156
 Copyright terms: Public domain W3C validator