Theorem elpaddn0 34104

Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddn0	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟   𝐴,𝑞,𝑟   ∨ ,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   + (𝑟,𝑞)

Proof of Theorem elpaddn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpadd 34103	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
7		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
8	7	sseld 3567	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → 𝑆 ∈ 𝐴))
9		simpll1 1093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
10		ssel2 3563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
11	10	3ad2antl2 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 3	atbase 33594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
17	16	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ 𝐴)
18	13, 3	atbase 33594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
20	13, 1, 2	latlej1 16883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
21	9, 15, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
22	21	reximdva0 3891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑋) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))
23	22	exp31 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑌 ≠ ∅ → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
24	23	com23 84	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ≠ ∅ → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
25	24	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
26	25	ancld 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟))))
27		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑆 ∨ 𝑟))
28	27	breq2d 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
29	28	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑆 → (∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)))
30	29	rspcev 3282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
31	26, 30	syl6 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
32	31	adantrl 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
33	8, 32	jcad 554	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑋 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
34		simpl3 1059	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
35	34	sseld 3567	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ∈ 𝐴))
36		simpll1 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
37		ssel2 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
38	37	3ad2antl2 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ 𝐴)
40	13, 3	atbase 33594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
42		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
43	42	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ 𝐴)
44	43, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45	13, 1, 2	latlej2 16884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
46	36, 41, 44, 45	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))
47	46	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
48	47	ancld 574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆))))
49		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑆))
50	49	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)))
51	50	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
52	48, 51	syl6 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
53	52	impancom 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
54	53	ancld 574	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑞 ∈ 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
55	54	eximdv 1833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋 → ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
56		n0 3890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ 𝑋)
57		df-rex 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
58	55, 56, 57	3imtr4g 284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
59	58	impancom 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
60	59	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
61	35, 60	jcad 554	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ 𝑌 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
62	33, 61	jaod 394	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
63		pm4.72 916	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
64	62, 63	sylib 207	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))
65	6, 64	bitr4d 270	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  +_𝑃cpadd 34099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869  df-ats 33572  df-padd 34100

This theorem is referenced by:  paddvaln0N  34105  elpaddri  34106  elpaddat  34108  paddasslem15  34138  paddasslem16  34139  pmodlem2  34151  pmapjat1  34157