Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss2 34122
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 3746 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss2 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3562 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim2d 881 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑍𝑝𝑋) → (𝑝𝑍𝑝𝑌)))
3 ssrexv 3630 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌 → (∃𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43reximdv 2999 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
54anim2d 587 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
62, 5orim12d 879 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
76adantl 481 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
9 simpl3 1059 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
10 sstr 3576 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
11103ad2antr2 1220 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
1211ancoms 468 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
13 eqid 2610 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1713, 14, 15, 16elpadd 34103 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑋𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
188, 9, 12, 17syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌𝐴)
2013, 14, 15, 16elpadd 34103 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
218, 9, 19, 20syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
227, 18, 213imtr4d 282 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
2322ssrdv 3574 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
2423ex 449 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  +𝑃cpadd 34099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-padd 34100
This theorem is referenced by:  paddss12  34123  pmod1i  34152
  Copyright terms: Public domain W3C validator