Theorem elfg 21485

Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfg	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fgval 21484	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2	1	eleq2d 2673	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3		pweq 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
4	3	ineq2d 3776	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
5	4	neeq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
6	5	elrab 3331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7		elfvdm 6130	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8		elpw2g 4754	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
10		elin 3758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11		selpw 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	anbi2i 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
13	10, 12	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
14	13	exbii 1764	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
15		n0 3890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16		df-rex 2902	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
17	14, 15, 16	3bitr4i 291	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴))
19	9, 18	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
20	6, 19	syl5bb 271	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))
21	2, 20	bitrd 267	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  fBascfbas 19555  filGencfg 19556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-fg 19565

This theorem is referenced by:  ssfg  21486  fgss  21487  fgss2  21488  fgfil  21489  elfilss  21490  fgcl  21492  fgabs  21493  fgtr  21504  trfg  21505  uffix  21535  elfm  21561  elfm2  21562  elfm3  21564  fbflim  21590  flffbas  21609  fclsbas  21635  isucn2  21893  metust  22173  cfilucfil  22174  metuel  22179  fgcfil  22877  fgmin  31535  filnetlem4  31546